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« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

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== Question 2 ==
{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}
Montrer que les suites <math>u_n=H_{n-1}-\ln n</math> et <math>v_n=H_n-\ln n</math> (définies pour <math>n\ge1</math>) sont [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]]. Leur limite commune est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>.
 
{{Solution|contenu=
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}}
 
Leur limite commune est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>. Elle vérifie donc :
== Question 3 ==
:<math>\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)</math>.
 
En déduire que <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_n = 0.</math>
 
{{Solution
| contenu =
Exprimer <math>H_n</math> en fonction de <math>v_n</math> :
 
<math>H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> et <math>v_n = H_n - \ln(n)</math>
 
<math>v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)</math>
 
<math>H_n = v_n + \ln(n) + \gamma - \gamma</math>
 
<math>H_n = v_n + \ln(n) + \gamma - \gamma = \ln(n) + \gamma + (v_n - \gamma)</math>
 
En posant <math>\epsilon_n = v_n - \gamma</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_n = 0</math> on a bien <math>H_n = \ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math>}}
 
{{Bas de page
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