Série numérique/Exercices/Série harmonique

Question 1

On pose $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Montrer que $\lim H_{n}=+\infty$.

Indice

Montrer que pour tout entier $n\geq 1\quad H_{2n}-H_{n}\geq {\tfrac {1}{2}}$.

 

Solution

$H_{2n}-H_{n}={\frac {1}{n+1}}+\dots +{\frac {1}{2n}}\geq {\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}$ donc $H_{2^{k}}\geq {\frac {k}{2}}H_{1}={\frac {k}{2}}$ donc $H_{n}\geq {\frac {\lfloor \ln _{2}n\rfloor }{2}}$.

 

Question 2

Montrer que plus précisément, la suite $(H_{n}-\ln n)_{n\geq 1}$ converge (donc $H_{n}\sim \ln n$). Pour cela, poser $v_{n}=H_{n}-\ln n$ et considérer la série de terme général $a_{n}:=v_{n}-v_{n-1}$ pour $n\geq 2$, et $a_{1}=v_{1}$.

Solution

Pour $n\geq 2$, $a_{n}={\frac {1}{n}}+\ln \left(1-{\frac {1}{n}}\right)=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ converge.

Variante : $-a_{n}=\int _{n-1}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}-{\frac {1}{n}}$ est positif et majoré par ${\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}$, terme général d'une série télescopique convergente.

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}=v_{n}$ donc $v_{n}\to \sum _{n\geq 1}a_{n}$.

 

La limite de $(H_{n}-\ln n)$ est la constante d'Euler, notée $\gamma$. On a donc démontré la

formule d'Euler

$H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}$ avec $\lim _{n\to +\infty }\varepsilon _{n}=0$.

Question 3

Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites $u_{n}=H_{n-1}-\ln n$ et $v_{n}=H_{n}-\ln n$ (définies pour $n\geq 1$) sont adjacentes.

Solution

• $v_{n}-u_{n}={\frac {1}{n}}\to 0$.
• $(u_{n})$ est croissante car $u_{n+1}-u_{n}={\frac {1}{n}}-\left[\ln t\right]_{n}^{n+1}=\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{t}}\right)\;\mathrm {d} t>0$.
• $(v_{n})$ est décroissante car $v_{n+1}-v_{n}={\frac {1}{n+1}}-\left[\ln t\right]_{n}^{n+1}=\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{t}}\right)\;\mathrm {d} t<0$.

Voir aussi Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par une somme#Exercice 2-1 ou Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités, point 4.

 

Question 4

Déduire de la formule d'Euler (question 2), en exprimant $P_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}}$ et $I_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k-1}}$ en fonction de $H_{n}$ et $H_{2n}$, la convergence et la somme de la série harmonique alternée :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-\ln 2$.

Solution

$P_{n}={\frac {1}{2}}H_{n}$ et $I_{n}+P_{n}=H_{2n}$ donc $I_{n}=H_{2n}-{\frac {1}{2}}H_{n}$. Par conséquent,

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{2N}{\frac {(-1)^{n}}{n}}&=P_{N}-I_{N}\\&=H_{N}-H_{2N}\\&=\ln N+\gamma +\varepsilon _{N}-\left(\ln(2N)+\gamma +\varepsilon _{2N}\right)\\&=-\ln 2+\varepsilon _{N}-\varepsilon _{2N}\\&\to -\ln 2\end{aligned}}$

et puisque ${\frac {(-1)^{n}}{n}}\to 0$, on a aussi $\sum _{n=1}^{2N+1}{\frac {(-1)^{n}}{n}}\to -\ln 2$.

Pour une généralisation de ce résultat, voir Série entière/Exercices/Calcul de sommes#Exercice 2.