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« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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{{Définition
| titre = Définition : Intégraleintégrale généralisée (ou impropre)
| contenu ={{Wikipédia|Intégrale impropre}}
Soit <math>f</math> une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle <math>\left]a,b\right[</math> avec <math>a,b \in \R\cup \{\pm \infty\}</math>.
Ligne 23 :
On appelle '''intégrale généralisée de <math>f</math> entre <math>a</math> et <math>b</math> ''' la limite suivante :
<div style="text-align: center;">
<math>\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t dt= \lim_{x\to a,y\to b} \int_x^yf(t)\,\mathrm dt</math>.
</div>
 
L'intégrale est dite '''convergente''' si cette limite existe et est finie et '''divergente''' dans le cas contraire.
}}
Le symbole <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.
 
{{Exemple|contenu=Soit <math>\lambda\in\R</math>. Montrer que <math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si <math>\lambda>0</math>.
Remarquez que le symbole <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t</math> n'a pas de sens si l'intégrale est divergente ou si l’on n'a pas prouvé sa convergence.
{{Solution|contenu=▼
 
*:Si <math>\lambda=0</math>, <math>\int_0^x\operatorname e^{-\lambda t}\,;\mathrm dt=\left[-\operatorname e^{-t}\right]_0^x=1-\operatorname e^{-x},\xrightarrow[x\to +\infty]{}1+\infty</math>.▼
'''Exemples :'''
 
*Montrer que <math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t}\;\mathrm dt</math> converge.
▲*:<math>\int_0^x\operatorname e^{-t}\,\mathrm dt=\left[-\operatorname e^{-t}\right]_0^x=1-\operatorname e^{-x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}1</math>.
*Montrer que <math>\int_0^1\frac{\ln t}t\,\mathrm dt</math> diverge.
*:<math>\int_x^1\frac{\ln t}t\,\mathrm dt=\left[\frac{\ln^2 t}2\right]_x^1=\frac{-\ln^2 x}2\xrightarrow[x\to0^+]{}-\infty</math>.
 
Si <math>\lambda\ne0</math>, <math>\int_0^x\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt=\left[\frac{\operatorname e^{-\lambda t}}{-\lambda}\right]_0^x=\frac{1-\operatorname e^{-\lambda x}}\lambda\,\xrightarrow[x\to +\infty]{}\begin{cases}+\infty&\text{si }\lambda<0\\\frac1\lambda&\text{si }\lambda>0.\end{cases}</math>
}}▼
}}▼
=== Premières propriétés ===
Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées '''convergentes''' :
Ligne 44 ⟶ 43 :
| titre = Relation de Chasles sur les intégrales généralisées convergentes
| contenu =
Soit <math>f</math> une fonction continue par morceaux sur <math>\left]a,b\right[</math> et <math>c\in \left]a,b\right[</math>.
Alors (sous réserve d'existence) :
<div style="text-align: center;">
Ligne 55 ⟶ 54 :
Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.
 
<u>Remarque :</u> Il faut "« couper" » pour connaître la nature d’une intégrale généralisée.
 
Par exemple, on a :
<math>\int_{-x}^x \sin t\,\mathrm dt= 0 \;\forall x \in\R</math> converge et pourtant
<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \sin t\,\mathrm dt</math> diverge (<math>x \mapsto -\cos x</math> est une primitive de <math> x\mapsto \sin x</math> et n'a pas de limite en l'infini).
 
Enfin, il y a les "« fausses intégrales généralisées" », celles où l’on règle le problème par '''prolongement par continuité''' de la fonction à intégrer :
 
{{Exemple
| contenu =
:<math>\int_0^1 \frac{\sin t}t\,\mathrm dt</math> est convergente.
Il suffit de remarquer que sile prolongement par continuité en <math>f0</math> :de <math>x\mapsto \frac{\sin x}{x}</math>, alors son prolongement par continuité en <math>0</math> est :
:<math>g : x \mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x, & \mbox{si } x \ne 0 \\ 1 , & \mbox{si } x = 0.\end{cases}</math>
}}
==Calcul explicite==
Comme dans les deuxle premierspremier exemplesexemple [[#Définition|ci-dessus]], il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale <math>\int_a^bf(t)\,\mathrm dt</math> impropre en <math>b</math>, d'expliciter la fonction <math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voyezvoir la leçon [[Intégration (en mathématiques)/Intégrale]] et primitives]]ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand <math>x</math> tend vers <math>b</math>.
 
=== Exemple de Riemann ===
Le premier exemple de référence '''à connaître''' est :
 
{{Exemple|titre=Exemple de Riemann|contenu=Soit <math>\alpha\in\R</math>.
*L'intégrale impropre<div style="text-align: center;"><math>\int_1^{+\infty}\frac1{t^\alpha}\,\mathrm dt</math></div>converge si et seulement si <math>\alpha>1</math>.
*L'intégrale (impropre en <math>0</math> si <math>\alpha>0</math>)<div style="text-align: center;"><math>\int_0^1\frac1{s^\alpha}\,\mathrm ds</math></div>converge si et seulement si <math>\alpha<1</math>.
 
▲}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Il suffit d'étudier la première intégrale, car la seconde s'en déduit par le changement de variable <math>t=\frac1s</math> et le remplacement de <math>\alpha</math> par <math>2-\alpha</math>.
 
Ligne 87 ⟶ 86 :
 
===Autres exemples===
*Calculer <math>\int_0^1 \ln t \,\mathrm dt</math>.
▲{{Solution|contenu=
:<math>\int_x^1 \ln t \,\mathrm dt =\left[t\ln t-t\right]_x^1=(1\ln 1 -1) - (x\ln x - x)=x - x\ln x - 1</math> donc
:<math>\int_0^1 \ln t \,\mathrm dt=\lim_{x\to0}(x - x\ln x - 1)=-1</math>.
▲}}
*Calculer <math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
Ligne 117 ⟶ 111 :
{{Lemme
| contenu =
Soit <math>f>0\ge0</math> continue par morceaux sur <math>\left[a,b\right[</math>.
 
<math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge si, et seulement si, la fonction <math>F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm dt</math> est majorée sur <math>[a,b[</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
<math>F</math> est une primitive de <math>f</math> et <math>f = F'>0\ge0</math> donc <math>F</math> est croissante (et majorée).
 
Le [[Fonctions d'une variable réelle/Limites|théorème de la limite monotone]] permet alors de conclure.
Ligne 133 ⟶ 127 :
| titre = Théorème de comparaison (intégrales généralisées)
| contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions continues par morceaux et '''positives''' sur <math>\left[a,b\right[</math> et telles que <math>f\le g</math>.
* Si <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> converge, alors <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge aussi.
* Si <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> diverge, alors <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> diverge aussi.
Ligne 147 ⟶ 141 :
}}
 
 
;Exemple
:{{Exemple|contenu=Montrer que <math>\int_0^{+\infty} \mathrm e^{-t^2} \;\mathrm dt</math> converge.
{{Solution|contenu=
Pour tout <math>t\ge1</math>, on a <math>t^2\ge t</math> donc <math>0\le\operatorname e^{-t^2}\le\operatorname e^{-t}</math>.
Ligne 154 ⟶ 148 :
Or <math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\;\mathrm dt</math> converge. Donc <math>\int_0^{+\infty} \mathrm e^{-t^2} \;\mathrm dt</math> converge aussi.
}}
}}
 
On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut <math>b</math> (c'est donc en <math>b</math> que l’on effectue la comparaison de <math>f</math> et <math>g</math>) :
 
Ligne 160 ⟶ 154 :
| titre = Corollaire : intégration des relations de comparaison
| contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions continues par morceaux et '''positives''' sur <math>\left[a,b\right[</math>.
#On suppose que <math>f\,\underset{ b}{=} \,O(g)</math> (ce qui est vrai en particulier si <math>f\,\underset{ b}{=} \,o(g)</math>).
#* Si <math>\int_a^b gbg(t)\,\mathrm dt</math> converge, alors <math>\int_a^b fbf(t)\,\mathrm dt</math> converge aussi.
#* Si <math>\int_a^b fbf(t)\,\mathrm dt</math> diverge, alors <math>\int_a^b gbg(t)\,\mathrm dt</math> diverge aussi.
#Si <math>f\,\underset b{\sim} \,g</math>, alors les intégrales <math>\int_a^b fbf(t)\,\mathrm dt</math> et <math>\int_a^b gbg(t)\,\mathrm dt</math> sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
}}
 
Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison]].
{{Démonstration déroulante|contenu =
'''1/''' Il suffit d’utiliser la positivité de <math>f</math> et la définition de <math>f\underset b{=}O(g)</math> : <math>\exist c\in\left[a,b\right[\quad M\in\R\quad\forall x\in\left[c,b\right[\quad0\le f(x)\le Mg(x)</math>. Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.
 
'''2/''' Si <math>f\underset b{\sim} g</math> alors <math>f \underset b{=}O(g)\text{ et }g\underset{b}{=}O(f)</math>, ce qui permet d'appliquer le point précédent.
}}
 
 
'''Exemples :'''
{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
*Montrer que <math>\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^4-1}}</math> converge.
{{Solution|contenu=
Ligne 188 ⟶ 183 :
*:<math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\beta t}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si β > 1.
*Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1<ref>Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple {{Ouvrage|titre=Maths MP Tout en un|prénom1=B.|nom1=Beck|prénom2=I.|nom2=Selon|prénom3=C.|nom3=Feuillet|éditeur=Hachette Éducation|année=2006|url=https://books.google.fr/books?id=_gnXWziBhT8C&pg=PA305|page=305}}.</ref> (les fonctions considérées sont bien positives) :
**[[Fonction logarithme/Croissances comparées|si α > 1, alors]] <math>\frac1{t^{\alpha}\ln^{\beta}t}=o\left(\frac1{t\ln^2t}\right)</math> etdonc l'intégrale converge ;
**si α < 1, alors <math>\frac1t=o\left(\frac1{t^{\alpha}\ln^{\beta}t}\right)</math> donc l'intégrale diverge.
}}
}}
 
Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue. :
 
=== Convergence absolue ===
Ligne 199 ⟶ 194 :
| titre = Définition : convergence absolue
| contenu =
Soit <math>f\in</math> une fonction continue par morceaux sur <math>\mathcal{CM}(left[a,b\right[)</math>.
 
L'intégrale <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> est dite '''absolument convergente''' si l'intégrale <math>\int_a^b |f(t)|\,\mathrm dt</math> converge.
}}
 
{{Théorème
| contenu = Toute intégrale absolument convergente est convergente.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu = Soit <math>x\in \left[a,b\right[</math>.
 
On [[Intégration (mathématiques)/Propriétés de l'intégrale|a montré]] que :
Ligne 215 ⟶ 209 :
Remarquez que la réciproque est fausse : on parle alors de '''semi-convergence'''.
 
'''{{Exemple :''' |contenu=Montrer que l'intégrale <math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x} \sin x \;\mathrm dx</math> est absolument convergente.
 
<math>\forall x\in \R\quad|\mathrm e^{-x} \sin x |\le\mathrm e^{-x}</math> et <math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.▼
 
▲<math>\forall x\in \R\quad|\mathrm e^{-x} \sin x |\le\mathrmoperatorname e^{-x}</math> et <math>\int_0^{+\infty}\mathrmoperatorname e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
}}
==Note==
{{Références}}
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Intégration_de_Riemann/Intégrales_généralisées »