Intégration de Riemann/Intégrales généralisées

Début de la boite de navigation du chapitre
Intégrales généralisées
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Intégration de Riemann
Chap. préc. :Centre d'inertie
Chap. suiv. :Calcul numérique d'une intégrale

Exercices :

Intégrales impropres
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Intégration de Riemann : Intégrales généralisées
Intégration de Riemann/Intégrales généralisées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

.

Définitions et premières propriétésModifier

DéfinitionModifier

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne   (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :

Le symbole   n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Premières propriétésModifier

Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Calcul expliciteModifier

Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale   impropre en  , d'expliciter la fonction   par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand   tend vers  .

Exemple de RiemannModifier

Le premier exemple de référence à connaître est :

Soit  .

  • L'intégrale impropre
     
    converge si et seulement si  .
  • L'intégrale (impropre en   si  )
     
    converge si et seulement si  .

Autres exemplesModifier

Montrer que   converge si et seulement si  .

Montrer que  .

Convergence absolue et théorème de comparaisonModifier

Théorème de comparaison pour les intégrales généraliséesModifier

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début de l'exemple
Fin de l'exemple

On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut   (c'est donc en   que l’on effectue la comparaison de   et  ) :


Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :

Convergence absolueModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet  .

Règle d'AbelModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


NoteModifier

  1. Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .