« Série numérique/Propriétés » : différence entre les versions
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→Critère d'Abel : +le "vrai" critère d'Abel |
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==Critère d'[[w:Niels Henrik Abel|Abel]]==
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Soient <math>(a_n)</math>, <math>(b_n)</math> et <math>(c_n)</math> trois suites numériques et <math>(A_n)</math>, <math>(B_n)</math> et <math>(C_n)</math> les sommes partielles des séries associées. Si (pour tout <math>n\in\N</math>)
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique décroissante et de limite nulle. Alors <math>\sum(-1)^nu_n</math> converge.▼
:<math>c_n=A_nb_n</math>
alors
:<math>C_n=A_nB_n-\sum_{k<n}B_ka_{k+1}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Vérification|contenu=
<math>\begin{align}C_n&=\sum_{j=0}^nA_jb_j\\
&=A_0B_0+\sum_{j=1}^nA_j(B_j-B_{j-1})\\
&=\sum_{k=0}^nA_kB_k-\sum_{k<n}A_{k+1}B_k\\
&=A_nB_n-\sum_{k<n}B_k(A_{k+1}-A_k)\\
&=A_nB_n-\sum_{k<n}B_ka_{k+1}.\end{align}</math>
}}
En effet, les deux sous-suites <math>(S_{2n})</math> et <math>(S_{2n+1})</math> de la suite <math>(S_n)</math> des sommes partielles sont alors [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]].▼
{{Théorème|titre=Théorème : critère d'Abel|contenu=
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites numériques telles que
*la suite des sommes partielles de la série <math>\sum v_n</math> est bornée ;
*<math>u_n\to0</math> ;
*la série <math>\sum(u_{n+1}-u_n)</math> est absolument convergente.
Alors, la série <math>\sum u_nv_n</math> est convergente.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On applique le lemme à <math>A_n=u_n</math> et <math>b_n=v_n</math>. Par hypothèse, <math>(B_n)</math> est bornée, <math>A_n\to0</math> et <math>\sum a_n</math> est absolument convergente, donc
:<math>\sum_{k\le n}u_nv_n=C_n=A_nB_n-\sum_{k<n}B_ka_{k+1}\to\sum B_ka_{k+1}</math>,
cette dernière série étant absolument convergente.
}}
En particulier, si <math>(u_n)</math> est décroissante et de limite nulle alors, pour toute série <math>\sum v_n</math> de sommes partielles bornées, la série <math>\sum u_nv_n</math> converge. Le cas <math>v_n=(-1)^n</math> est utile pour les [[w:Série alternée|séries alternées]] :
{{Corollaire|titre=Corollaire : test de convergence des séries alternées|contenu={{Wikipédia|Critère de convergence des séries alternées}}
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== Comparaison série-intégrale ==
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