« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions
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→Question 2 : variante |
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:<math>\sum_{k=1}^na_k=v_n</math> donc <math>v_n\to\sum_{n\ge1}a_n</math>.
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La limite de <math>(H_n-\ln n)</math> est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>. Elle vérifie donc :▼
:<math>H_n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n</math> avec <math>\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0</math>.▼
▲La limite de <math>(H_n-\ln n)</math> est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>.
{{Définition|titre=formule d'[[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Euler]]|contenu={{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}
▲:<math>H_n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n</math> avec <math>\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0</math>.
}}
== Question 3==
Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites <math>u_n=H_{n-1}-\ln n</math> et <math>v_n=H_n-\ln n</math> (définies pour <math>n\ge1</math>) sont [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]].
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== Question 4==
Déduire de la formule d'Euler (question 2), en exprimant <math>P_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k}</math> et <math>I_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k-1}</math> en fonction de <math>H_n</math> et <math>H_{2n}</math>, la convergence et la somme de la [[w:Série harmonique#La série harmonique alternée|série harmonique alternée]] :
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n=-\ln2</math>.
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