« Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
{{Solution|contenu=
La somme <math>\sum_{k\ge1}\frac{|\sin(\pi k)|}k</math> est nulle car <math>|\sin(\pi k)|=0</math> mais nous allons montrer que <math>\int_1^{+\infty}\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt=+\infty</math>.
Soit <math>N\in\N^*</math>
:<math>\int_1^N\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt=\sum_{k=2}^N\int_{k-1}^k\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt</math>. ▼
▲<math>\int_1^N\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt=\sum_{k=2}^N\int_{k-1}^k\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt</math>.
Si <math>t\in[k-1,k]</math> alors <math>\frac1t\ge\frac1k</math>, d'où :
:<math>\int_{k-1}^k\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt\ge\frac1k\int_{k-1}^k|\sin(\pi t)|\;\mathrm dt=\frac1k\int_0^1\sin(\pi s)\;\mathrm ds=\frac1k\left[\frac{-\cos(\pi s)}{\pi}\right]_0^1=\frac2{k\pi}</math>.▼
▲<math>\int_{k-1}^k\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt\ge\frac1k\int_{k-1}^k|\sin(\pi t)|\;\mathrm dt=\frac1k\int_0^1\sin(\pi s)\;\mathrm ds=\frac1k\left[\frac{-\cos(\pi s)}{\pi}\right]_0^1=\frac2{k\pi}</math>.
Donc <math>\int_1^N\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt\ge\frac2{\pi}\sum_{k=2}^N\frac1k\;\xrightarrow[N\to+\infty]{}+\infty</math> car la [[Série numérique/Exercices/Série harmonique|série harmonique]] diverge.
Montrons maintenant que <math>\sum\frac{|\sin n|}n</math> diverge. Pour tout entier <math>k</math>, l'intervalle <math>\left[k\pi+\frac\pi6,(k+1)\pi-\frac\pi6\right[</math> contient au moins un entier (car <math>\frac{2\pi}3>1</math>). Notons <math>n(k)</math> l'un d'entre eux. Alors,
:<math>\sum_{n\ge1}\frac{|\sin n|}n\ge\sum_{k\ge1}\frac{|\sin n(k)|}{n(k)}\ge\sum_{k\ge1}\frac{1/2}{(k+1)\pi}=+\infty</math>.
Une autre méthode <!--trouvée sur http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,2093-->consiste à minorer <math>|\sin n|</math> par <math>\sin^2n=\frac{1-\cos(2n)}2</math> et à remarquer que <math>\sum\frac{\cos(2n)}n</math> converge [[Série numérique/Exercices/Critère d'Abel#Exercice 1|d'après le critère d'Abel]]…
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