Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $\int _{1}^{+\infty }{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t=\int _{\pi }^{+\infty }{\frac {|\sin s|}{s}}\;\mathrm {d} s$ et des séries $\sum _{k\geq 1}{\frac {|\sin(\pi k)|}{k}}$ et $\sum _{n\geq 1}{\frac {|\sin n|}{n}}$.

Indication : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition $\int _{1}^{N}f(t)\;\mathrm {d} t=\sum _{k=2}^{N}\int _{k-1}^{k}f(t)\;\mathrm {d} t$.

Solution

La somme $\sum _{k\geq 1}{\frac {|\sin(\pi k)|}{k}}$ est nulle car $|\sin(\pi k)|=0$ mais nous allons montrer que $\int _{1}^{+\infty }{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t=+\infty$. Le critère de comparaison série-intégrale n'est pas applicable ici car la fonction $\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}$ n'est pas monotone à partir d'un certain seuil (elle est nulle sur les entiers et strictement positive ailleurs).

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

$\int _{1}^{N}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t=\sum _{k=2}^{N}\int _{k-1}^{k}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t$.

Si $t\in [k-1,k]$ alors ${\frac {1}{t}}\geq {\frac {1}{k}}$, d'où :

$\int _{k-1}^{k}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t\geq {\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|\;\mathrm {d} t={\frac {1}{k}}\int _{0}^{1}\sin(\pi s)\;\mathrm {d} s={\frac {1}{k}}\left[{\frac {-\cos(\pi s)}{\pi }}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{k\pi }}$.

Donc $\int _{1}^{N}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}\;{\xrightarrow[{N\to +\infty }]{}}+\infty$ car la série harmonique diverge.

Montrons maintenant que $\sum {\frac {|\sin n|}{n}}$ diverge. Pour tout entier $k$, l'intervalle $\left[k\pi +{\frac {\pi }{6}},(k+1)\pi -{\frac {\pi }{6}}\right[$ contient au moins un entier (car ${\frac {2\pi }{3}}>1$). Notons $n(k)$ l'un d'entre eux. Alors,

$\sum _{n\geq 1}{\frac {|\sin n|}{n}}\geq \sum _{k\geq 1}{\frac {|\sin n(k)|}{n(k)}}\geq \sum _{k\geq 1}{\frac {1/2}{(k+1)\pi }}=+\infty$.

Une autre méthode consiste à minorer $|\sin n|$ par $\sin ^{2}n={\frac {1-\cos(2n)}{2}}$ et à remarquer que $\sum {\frac {\cos(2n)}{n}}$ converge d'après le critère d'Abel…

 

Exercice 2

Étude des séries de Riemann et de Bertrand : variante de la méthode par télescopage.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels.

1. Montrer que la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }\ln ^{\beta }x}}$ est monotone à partir d'un certain seuil.
2. En déduire la nature de la série $\sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}$ lorsque $\beta =0$ ou $\alpha =1$.

Solution

1. La dérivée de cette fonction $f_{\alpha ,\beta }$ (définie sur $\left]1,+\infty \right[$) est du signe de $-\alpha \ln x-\beta$.
2. D'après la question 1, la série $\sum _{n\geq 2}f_{\alpha ,\beta }(n)$ est de même nature que l'intégrale $\int ^{+\infty }f_{\alpha ,\beta }$.
   • Pour $\beta =0$, elle est donc convergente si et seulement si $\alpha >1$ car lorsque $A\to +\infty$,

     $\int _{1}^{A}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{\alpha }}}={\begin{cases}{\frac {A^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}&\to +\infty &{\text{ si }}\alpha >1\\\ln A&\to +\infty &{\text{ si }}\alpha =1\\{\frac {A^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}&\to {\frac {1}{\alpha -1}}&{\text{ si }}\alpha >1.\end{cases}}$

   • Pour $\alpha =1$, elle est donc convergente si et seulement si $\beta >1$ car (par changement de variable $t=\ln x$) $\int _{2}^{+\infty }f_{1,\beta }(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\ln 2}^{+\infty }f_{\beta ,0}(t)\;\mathrm {d} t$.

 

Exercice 3

Retrouver, par comparaison série-intégrale, l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n).

Solution

$\ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k$ est compris entre $\int _{1}^{n}\ln t\;\mathrm {d} t$ et $\int _{2}^{n+1}\ln t\;\mathrm {d} t$ donc est équivalent, comme eux, à $n\ln n$.