Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale

Comparaison série-intégrale
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Exercices no4
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Fraction rationnelle
Exo suiv. :Cauchy et d'Alembert
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Exercice 1Modifier

Étudier la nature de l'intégrale   et des séries   et  .

Indication : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition  .

Exercice 2Modifier

Étude des séries de Riemann et de Bertrand : variante de la méthode par télescopage.

Soient   et   deux réels.

  1. Montrer que la fonction   est monotone à partir d'un certain seuil.
  2. En déduire la nature de la série   lorsque   ou  .

Exercice 3Modifier

Retrouver, par comparaison série-intégrale, l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n).