« Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3 » : différence entre les versions
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→Exercice 8-4 : Solution de la question 1, particulièrement difficile |
→Exercice 8-4 : Début de solution de la question 2, particulièrement difficile |
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Ligne 63 :
:*Si <math>m=2+2\sqrt3</math>, <math>s_-=-1</math> et les solutions sont <math>-\frac\pi2\pmod{2\pi}</math>.
:*Si <math>m>2+2\sqrt3</math>, il n'y a pas de solution.
On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur <math>\left[-1,1\right]</math> du polynôme <math>4s^2-2\left(\sqrt3-1\right)s</math>.
}}
{{Solution|titre=Début de solution de la question 2, particulièrement difficile|contenu=
'''2°''' Si <math>m=0</math>, l'équation est <math>\sin x=-\frac12</math> et ses solutions sont <math>-\frac\pi3\pmod{2\pi}</math> et <math>-\frac{2\pi}3\pmod{2\pi}</math>.
:Si <math>m\ne0</math>, le discriminant réduit de l'équation <math>ms^2-2s+m-1=0</math> est <math>\Delta'=1-m\left(m-1\right)=-m^2+m+1</math>.
:Il ne peut y avoir de racines que si <math>\Delta'\ge0</math>, c.-à-d. si <math>\frac{1-\sqrt5}2\le m\le\frac{1+\sqrt5}2</math>. Les deux racines sont alors <math>s_\pm=\frac{1\pm\sqrt{\Delta'}}m</math>.
:Dans les deux cas limites <math>m=\frac{1\pm\sqrt5}2</math>, la racine (double) <math>s_+=s_-=\frac1m</math> n'est comprise entre <math>-1</math> et <math>1</math> que pour <math>m=\frac{1+\sqrt5}2</math>, et les solutions sont alors <math>\alpha\pmod{2\pi}</math> et <math>\pi-\alpha\pmod{2\pi}</math>, pour <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>\sin\alpha=\frac2{1+\sqrt5}=\frac{\sqrt5-1}2</math>.
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