Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3
Exercice 8-1 Modifier
Résoudre les équations :
1° ;
2° ;
3° .
1° .
2° .
3° .
Exercice 8-2 Modifier
Résoudre les inéquations :
1° ;
2° ;
3° .
1° .
2° .
3° .
Exercice 8-3 Modifier
Résoudre les inéquations :
1° ;
2° ;
3° .
1° donc n'a pas de solution.
2° donc un réel est solution de si et seulement si .
3° Un réel est solution de , c'est-à-dire de , si et seulement si .
Exercice 8-4 Modifier
Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre :
1° ;
2° ;
3° ;
4° .
1° Le discriminant « réduit » (c'est-à-dire divisé par 4) de l'équation est .
- Il ne peut y avoir de racines réelles que si , c'est-à-dire si . Les deux racines sont alors .
- Si , il y a en général 4 solutions : , , et , pour tels que (avec, dans le cas limite , seulement 3 solutions car donc ).
- Si , donc il y a en général 2 solutions : et (avec, dans le cas limite , seulement une solution car donc ).
- Si , il n'y a pas de solution car et .
On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur du polynôme .
2° Si , l'équation est et ses solutions sont et .
- Si , le discriminant réduit de l'équation est .
- Il ne peut y avoir de racines réelles que si , c'est-à-dire si . Les deux racines sont alors .
- Si , il n'y a pas de solution car .
- Si (avec ), seule est comprise entre et donc il y a en général deux solutions : et , pour tel que (avec, dans le cas limite , seulement une solution car donc ).
- Si , il y a en général 4 solutions : , , et , pour tels que (avec, dans le cas limite , seulement 3 solutions car donc , et dans le cas limite , seulement 2 solutions car donc et ).
3° Si , l'équation est et ses solutions sont .
- Si , le discriminant de l'équation est donc si , les deux racines (ou la racine double si ), sont et les solutions sont et (si , il n'y a pas de solution).
4° Le discriminant de l'équation est donc les deux racines sont et les solutions sont et .
Exercice 8-5 Modifier
Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre :
1° ;
2° ;
3° .
1° .
- Si , il n'y a pas de solution.
- Si , soient tels que , et .
- .
2° .
- Si , les solutions sont .
- Si , une seule des deux racines de l'équation (dont le produit vaut ) est comprise entre et : si et si . Soit tel que . Les solutions sont alors et .
3° .
Exercice 8-6 Modifier
Résoudre l'équation (de paramètres et ) :
- .
Le discriminant réduit est égal à .
L'équation est donc équivalente à et ses solutions sont :
- .
Exercice 8-7 Modifier
Résoudre l'équation :
- .
Exercice 8-8 Modifier
Démontrer la relation :
et résoudre l'équation :
- .
Le discriminant réduit est égal à
- .
Les deux solutions sont donc :
- ,
c'est-à-dire
- et
- .