En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Résolution d'équations 3Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les équations :
1°
tan
x
+
tan
4
x
1
−
tan
x
tan
4
x
=
1
−
tan
2
x
2
tan
x
{\displaystyle {\frac {\tan x+\tan 4x}{1-\tan x\tan 4x}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{2\tan x}}}
;
2°
2
tan
3
x
1
−
tan
2
3
x
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {2\tan 3x}{1-\tan ^{2}3x}}={\frac {1-\tan 2x}{1+\tan 2x}}}
;
3°
2
tan
x
3
1
+
tan
2
x
3
=
1
−
tan
2
x
2
1
+
tan
2
x
2
{\displaystyle {\frac {2\tan {\frac {x}{3}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{3}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
.
Solution
1°
tan
5
x
=
tan
(
π
2
−
x
)
⇔
x
≡
π
12
mod
π
6
{\displaystyle \tan 5x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}}
.
2°
tan
6
x
=
tan
(
π
4
−
2
x
)
⇔
x
≡
π
32
mod
π
8
{\displaystyle \tan 6x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-2x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{32}}\mod {\frac {\pi }{8}}}
.
3°
sin
2
x
3
=
cos
x
⇔
π
2
−
2
x
3
≡
±
x
mod
2
π
⇔
x
≡
3
π
10
mod
6
π
5
ou
x
≡
−
3
π
2
mod
6
π
{\displaystyle \sin {\frac {2x}{3}}=\cos x\Leftrightarrow {\frac {\pi }{2}}-{\frac {2x}{3}}\equiv \pm x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {3\pi }{10}}\mod {\frac {6\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {3\pi }{2}}\mod 6\pi }
.
Résoudre les inéquations :
1°
2
sin
x
+
1
<
0
{\displaystyle 2\sin x+1<0}
;
2°
2
cos
x
−
3
>
0
{\displaystyle 2\cos x-{\sqrt {3}}>0}
;
3°
tan
2
x
−
1
>
0
{\displaystyle \tan ^{2}x-1>0}
.
Solution
1°
sin
x
<
−
1
2
⇔
∃
k
∈
Z
−
5
π
6
+
2
k
π
<
x
<
−
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle \sin x<-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi <x<-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
.
2°
cos
x
>
3
2
⇔
∃
k
∈
Z
−
π
6
+
2
k
π
<
x
<
π
6
+
2
k
π
{\displaystyle \cos x>{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
.
3°
tan
x
∉
[
−
1
,
1
]
⇔
∃
k
∈
Z
−
π
2
+
k
π
<
x
<
−
π
4
+
k
π
ou
π
4
+
k
π
<
x
<
π
2
+
k
π
{\displaystyle \tan x\notin \left[-1,1\right]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{2}}+k\pi <x<-{\frac {\pi }{4}}+k\pi {\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}+k\pi <x<{\frac {\pi }{2}}+k\pi }
.
Résoudre les inéquations :
1°
sin
2
x
−
3
sin
x
+
2
<
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-3\sin x+2<0}
;
2°
2
sin
2
x
−
3
sin
x
+
1
<
0
{\displaystyle 2\sin ^{2}x-3\sin x+1<0}
;
3°
sin
x
−
sin
2
x
+
sin
3
x
>
0
(
0
<
x
<
2
π
)
{\displaystyle \sin x-\sin 2x+\sin 3x>0\qquad (0<x<2\pi )}
.
Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre
m
{\displaystyle m}
:
1°
4
sin
2
x
−
2
(
3
−
1
)
sin
x
=
m
{\displaystyle 4\sin ^{2}x-2\left({\sqrt {3}}-1\right)\sin x=m}
;
2°
m
sin
2
x
−
2
sin
x
+
m
−
1
=
0
{\displaystyle m\sin ^{2}x-2\sin x+m-1=0}
;
3°
m
tan
2
x
−
3
tan
x
+
1
=
0
{\displaystyle m\tan ^{2}x-3\tan x+1=0}
;
4°
2
tan
x
−
3
cot
x
+
m
=
0
{\displaystyle 2\tan x-3\cot x+m=0}
.
Solution de la question 1, particulièrement difficile
1° Le discriminant « réduit » (c'est-à-dire divisé par 4) de l'équation
4
s
2
−
2
(
3
−
1
)
s
−
m
=
0
{\displaystyle 4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s-m=0}
est
Δ
′
=
(
3
−
1
)
2
+
4
m
=
4
(
1
+
m
)
−
2
3
{\displaystyle \Delta '=\left({\sqrt {3}}-1\right)^{2}+4m=4(1+m)-2{\sqrt {3}}}
.
Il ne peut y avoir de racines réelles que si
Δ
′
≥
0
{\displaystyle \Delta '\geq 0}
, c'est-à-dire si
m
≥
3
2
−
1
{\displaystyle m\geq {\frac {\sqrt {3}}{2}}-1}
. Les deux racines sont alors
s
±
=
3
−
1
±
Δ
′
4
{\displaystyle s_{\pm }={\frac {{\sqrt {3}}-1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{4}}}
.
Si
3
2
−
1
≤
m
≤
6
−
2
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}-1\leq m\leq 6-2{\sqrt {3}}}
, il y a en général
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
4 solutions :
α
+
{\displaystyle \alpha _{+}}
,
π
−
α
+
{\displaystyle \pi -\alpha _{+}}
,
α
−
{\displaystyle \alpha _{-}}
et
π
−
α
−
{\displaystyle \pi -\alpha _{-}}
, pour
α
+
,
α
−
∈
R
{\displaystyle \alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R} }
tels que
sin
α
±
=
s
±
{\displaystyle \sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }}
(avec, dans le cas limite
m
=
6
−
2
3
{\displaystyle m=6-2{\sqrt {3}}}
, seulement 3 solutions car
s
+
=
1
{\displaystyle s_{+}=1}
donc
α
+
≡
π
−
α
+
≡
π
2
{\displaystyle \alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}}
).
Si
6
−
2
3
<
m
≤
2
+
2
3
{\displaystyle 6-2{\sqrt {3}}<m\leq 2+2{\sqrt {3}}}
,
−
1
≤
s
−
<
1
<
s
+
{\displaystyle -1\leq s_{-}<1<s_{+}}
donc il y a en général
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
2 solutions :
α
−
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \alpha _{-}{\pmod {2\pi }}}
et
π
−
α
−
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \pi -\alpha _{-}{\pmod {2\pi }}}
(avec, dans le cas limite
m
=
2
+
2
3
{\displaystyle m=2+2{\sqrt {3}}}
, seulement une solution car
s
−
=
−
1
{\displaystyle s_{-}=-1}
donc
α
−
≡
π
−
α
−
≡
−
π
2
{\displaystyle \alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}}
).
Si
m
>
2
+
2
3
{\displaystyle m>2+2{\sqrt {3}}}
, il n'y a pas de solution car
s
−
<
−
1
{\displaystyle s_{-}<-1}
et
s
+
>
1
{\displaystyle s_{+}>1}
.
On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
du polynôme
4
s
2
−
2
(
3
−
1
)
s
{\displaystyle 4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s}
.
Solution de la question 2, particulièrement difficile
2° Si
m
=
0
{\displaystyle m=0}
, l'équation est
sin
x
=
−
1
2
{\displaystyle \sin x=-{\frac {1}{2}}}
et ses solutions
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
sont
−
π
6
{\displaystyle -{\frac {\pi }{6}}}
et
−
5
π
6
{\displaystyle -{\frac {5\pi }{6}}}
.
Si
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
, le discriminant réduit de l'équation
m
s
2
−
2
s
+
m
−
1
=
0
{\displaystyle ms^{2}-2s+m-1=0}
est
Δ
′
=
1
−
m
(
m
−
1
)
=
−
m
2
+
m
+
1
{\displaystyle \Delta '=1-m\left(m-1\right)=-m^{2}+m+1}
.
Il ne peut y avoir de racines réelles que si
Δ
′
≥
0
{\displaystyle \Delta '\geq 0}
, c'est-à-dire si
1
−
5
2
≤
m
≤
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
. Les deux racines sont alors
s
±
=
1
±
Δ
′
m
{\displaystyle s_{\pm }={\frac {1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m}}}
.
Si
1
−
5
2
≤
m
<
−
1
2
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m<-{\frac {1}{2}}}
, il n'y a pas de solution car
s
+
≤
s
−
<
−
1
{\displaystyle s_{+}\leq s_{-}<-1}
.
Si
−
1
2
≤
m
<
3
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\leq m<{\frac {3}{2}}}
(avec
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
), seule
s
−
{\displaystyle s_{-}}
est comprise entre
−
1
{\displaystyle -1}
et
1
{\displaystyle 1}
donc il y a en général
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
deux solutions :
α
−
{\displaystyle \alpha _{-}}
et
π
−
α
−
{\displaystyle \pi -\alpha _{-}}
, pour
α
−
∈
R
{\displaystyle \alpha _{-}\in \mathbb {R} }
tel que
sin
α
−
=
s
−
{\displaystyle \sin \alpha _{-}=s_{-}}
(avec, dans le cas limite
m
=
−
1
2
{\displaystyle m=-{\frac {1}{2}}}
, seulement une solution car
s
−
=
−
1
{\displaystyle s_{-}=-1}
donc
α
−
≡
π
−
α
−
≡
−
π
2
{\displaystyle \alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}}
).
Si
3
2
≤
m
≤
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
, il y a en général
(
mod
2
π
)
{\displaystyle {\pmod {2\pi }}}
4 solutions :
α
+
{\displaystyle \alpha _{+}}
,
π
−
α
+
{\displaystyle \pi -\alpha _{+}}
,
α
−
{\displaystyle \alpha _{-}}
et
π
−
α
−
{\displaystyle \pi -\alpha _{-}}
, pour
α
+
,
α
−
∈
R
{\displaystyle \alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R} }
tels que
sin
α
±
=
s
±
{\displaystyle \sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }}
(avec, dans le cas limite
m
=
3
2
{\displaystyle m={\frac {3}{2}}}
, seulement 3 solutions car
s
+
=
1
{\displaystyle s_{+}=1}
donc
α
+
≡
π
−
α
+
≡
π
2
{\displaystyle \alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}}
, et dans le cas limite
m
=
1
+
5
2
{\displaystyle m={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
, seulement 2 solutions car
s
+
=
s
−
{\displaystyle s_{+}=s_{-}}
donc
α
+
≡
α
−
{\displaystyle \alpha _{+}\equiv \alpha _{-}}
et
π
−
α
+
≡
π
−
α
−
{\displaystyle \pi -\alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{-}}
).
Solution des questions 3 et 4
Résoudre et discuter éventuellement selon la valeur du paramètre
m
{\displaystyle m}
:
1°
sin
2
x
−
3
sin
x
cos
x
−
cos
2
x
=
m
{\displaystyle \sin ^{2}x-3\sin x\cos x-\cos ^{2}x=m}
;
2°
cos
x
=
m
tan
x
{\displaystyle \cos x=m\tan x}
;
3°
sin
x
=
m
cot
x
{\displaystyle \sin x=m\cot x}
.
Résoudre l'équation (de paramètres
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
) :
cos
2
x
−
2
sin
a
sin
b
cos
x
+
sin
2
a
+
sin
2
b
−
1
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-2\sin a\sin b\cos x+\sin ^{2}a+\sin ^{2}b-1=0}
.
Solution
Le discriminant réduit est égal à
(
sin
a
sin
b
)
2
−
sin
2
a
−
sin
2
b
+
1
=
(
1
−
sin
2
a
)
(
1
−
sin
2
b
)
=
(
cos
a
cos
b
)
2
{\displaystyle (\sin a\sin b)^{2}-\sin ^{2}a-\sin ^{2}b+1=\left(1-\sin ^{2}a\right)\left(1-\sin ^{2}b\right)=\left(\cos a\cos b\right)^{2}}
.
L'équation est donc équivalente à
cos
x
=
sin
a
sin
b
±
cos
a
cos
b
=
±
cos
(
a
∓
b
)
{\displaystyle \cos x=\sin a\sin b\pm \cos a\cos b=\pm \cos \left(a\mp b\right)}
et ses solutions sont :
x
≡
±
(
a
−
b
)
ou
±
(
a
+
b
+
π
)
mod
2
π
{\displaystyle x\equiv \pm (a-b){\text{ ou }}\pm (a+b+\pi )\mod 2\pi }
.
Résoudre l'équation :
sin
4
x
+
cos
4
x
=
5
8
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x={\frac {5}{8}}}
.
Solution
(Cf. exercice 5-4 .)
1
−
sin
2
2
x
2
=
5
8
⇔
sin
2
x
=
±
3
2
⇔
x
≡
±
π
6
mod
π
2
{\displaystyle 1-{\frac {\sin ^{2}2x}{2}}={\frac {5}{8}}\Leftrightarrow \sin 2x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
Démontrer la relation :
(
1
−
cos
b
cos
c
)
2
−
sin
2
b
sin
2
c
=
(
cos
b
−
cos
c
)
2
{\displaystyle (1-\cos b\cos c)^{2}-\sin ^{2}b\sin ^{2}c=(\cos b-\cos c)^{2}}
et résoudre l'équation :
x
2
sin
2
b
−
2
(
1
−
cos
b
cos
c
)
x
+
sin
2
c
=
0
{\displaystyle x^{2}\sin ^{2}b-2(1-\cos b\cos c)x+\sin ^{2}c=0}
.
Solution
Le discriminant réduit est égal à
(
1
−
cos
b
cos
c
)
2
−
sin
2
b
sin
2
c
=
1
−
2
cos
b
cos
c
+
cos
2
b
cos
2
c
−
(
1
−
cos
2
b
)
(
1
−
cos
2
c
)
=
−
2
cos
b
cos
c
+
cos
2
b
+
cos
2
c
=
(
cos
b
−
cos
c
)
2
{\displaystyle (1-\cos b\cos c)^{2}-\sin ^{2}b\sin ^{2}c=1-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b\cos ^{2}c-(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)=-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=(\cos b-\cos c)^{2}}
.
Les deux solutions sont donc :
x
±
=
1
−
cos
b
cos
c
±
(
cos
b
−
cos
c
)
sin
2
b
{\displaystyle x_{\pm }={\frac {1-\cos b\cos c\pm (\cos b-\cos c)}{\sin ^{2}b}}}
,
c'est-à-dire
x
+
=
1
−
cos
b
cos
c
+
cos
b
−
cos
c
sin
2
b
=
(
1
+
cos
b
)
(
1
−
cos
c
)
sin
2
b
=
sin
2
c
2
sin
2
b
2
{\displaystyle x_{+}={\frac {1-\cos b\cos c+\cos b-\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1+\cos b)(1-\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {c}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {b}{2}}}}}
et
x
−
=
1
−
cos
b
cos
c
−
cos
b
+
cos
c
sin
2
b
=
(
1
−
cos
b
)
(
1
+
cos
c
)
sin
2
b
=
cos
2
c
2
cos
2
b
2
{\displaystyle x_{-}={\frac {1-\cos b\cos c-\cos b+\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1-\cos b)(1+\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {b}{2}}}}}
.