« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions

:Le signe de <math>a</math> détermine celui de <math>\sin x\sin y</math> et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant <math>u=\cos x</math> et <math>v=\cos y</math> et <math>P=uv</math>, à <math>\left(1-u^2\right)\left(1-v^2\right)=a^2\text{ et }u+v=b</math>, ou encore : <math>P^2+2P+1-b^2-a^2=0\text{ et }u+v=b</math>, c.-à-d. <math>P=-1\pm\sqrt{a^2+b^2}\text{ et }u+v=b</math>. Les 2 solutions <math>u,v</math> de <math>z^2-bz+P=0</math> appartiennent à <math>\left[-1,1\right]</math> si et seulement si <math>b^2\ge4P</math>, <math>|b|\le2</math> et <math>|b|\le2Ple P+21</math>. Il faut donc que <math>P=-1+\sqrt{a^2+b^2}</math> (et non pas <math>-1-\sqrt{a^2+b^2}</math>), et la condition d'existence de solutions <math>\left(u,v\right)\in\left[-1,1\right]^2</math> est alors : <math>4\sqrt{a^2+b^2}\le b^2+4\le8</math>.