Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes
Exercice 9-1Modifier
Résoudre les systèmes suivants :
1°
2°
1°
2°
Exercice 9-2Modifier
Résoudre les systèmes suivants, de paramètres et d'inconnue :
1°
2°
1° Le déterminant de ce système d'équations linéaires est égal à .
- Il est nul lorsque (avec ), et l'ensemble des solutions est alors .
- Si , le système est de Cramer et son unique solution est .
2° Le système équivaut à
-
- Si , l'ensemble de ses solutions est donc tout entier.
- Si , l'ensemble de ses solutions est .
- Si , l'ensemble de ses solutions est .
- Si , son unique solution est avec (cf. exercice 3-2) .
Exercice 9-3Modifier
Résoudre le système :
Si , disons et , le système équivaut à l'équation , dont les solutions sont évidentes.
Sinon, supposons par exemple . Les solutions sont alors (d'après la question 1 de l'exercice précédent) : , avec .
Exercice 9-4Modifier
Soit . Résoudre le système :
Ce système équivaut à (avec ) donc et . (Dans le cas particulier , seules les valeurs paires de sont autorisées, pour que soit bien défini.)
Exercice 9-5Modifier
Résoudre le système :
Ce système équivaut à , c'est-à-dire à . Ses solutions sont donc et .
Exercice 9-6Modifier
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
1° Lorsque , le système n'a de solutions que si et est alors équivalent à .
- Lorsque , le système est équivalent à . D'après le cours (cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits), il a donc des solutions si et seulement si , et les solutions sont alors , avec .
2° Les solutions sont entièrement déterminées par et , ou encore par et (elles existent si et seulement si ).
- La première équation donne et la seconde , qui se réécrit
- ,
- ou encore
- ,
- soit
- .
- Si , cette équation devient , donc il n'y a pas de solution (car ).
- Si , le discriminant réduit, , est positif si et seulement si , et les racines sont alors ; il reste à déterminer leur position par rapport à .
- , et si alors . On a donc :
- si , pas de solution ;
- si , seule est ;
- si , .
Exercice 9-7Modifier
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
3°
1° Si , les solutions sont . Supposons maintenant . Alors, sera entièrement déterminé en fonction de par son cosinus ( ) et son sinus ( ), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c'est-à-dire que , ce qui équivaut à
- .
- On détermine les solutions par la méthode habituelle, cf. Cas général (il en existe si et seulement si ).
2° Il faut bien sûr supposer . Le système équivaut alors à .
- Si , pas de solution. Si , est déterminé par et , avec , et la seconde équation équivaut alors à . Or .
- Finalement, il y a des solutions si et seulement si , et elles sont alors données, pour tels que , et , par : et , c'est-à-dire et .
3° Le système équivaut à (ce qui détermine à près et ), avec .
- Cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits : il existe des solutions si et seulement si et .
Exercice 9-8Modifier
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
2°
1° Lorsque ou , il n'y a de solutions que si , et le système équivaut alors à .
- Lorsque , le système équivaut à donc à : sont les deux racines réelles du polynôme (qui existent si et seulement si ).
2° Les solutions sont déterminées par leur cosinus et le signe de leur sinus.
- Le signe de détermine celui de et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant et et , à , ou encore : , c'est-à-dire . Les 2 solutions de appartiennent à si et seulement si , et . Il faut donc que (et non pas ), et la condition d'existence de solutions est alors : .