En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Résolution de systèmesTrigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les systèmes suivants :
1°
{
sin
x
cos
y
=
3
4
cos
x
sin
y
=
1
4
;
{\displaystyle {\begin{cases}\sin x\cos y={\frac {3}{4}}\\\cos x\sin y={\frac {1}{4}}~;\end{cases}}}
2°
{
cos
x
cos
y
=
3
+
1
4
sin
x
sin
y
=
3
−
1
4
.
{\displaystyle {\begin{cases}\cos x\cos y={\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\\\sin x\sin y={\frac {{\sqrt {3}}-1}{4}}.\end{cases}}}
Solution
1°
sin
(
x
+
y
)
=
1
et
sin
(
x
−
y
)
=
1
2
⇔
{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=1{\text{ et }}\sin \left(x-y\right)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow }
⇔
x
+
y
≡
π
2
et
x
−
y
≡
π
6
ou
5
π
6
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ et }}x-y\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}
⇔
y
≡
π
2
−
x
et
2
x
≡
2
π
3
ou
4
π
3
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \Leftrightarrow y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {4\pi }{3}}{\pmod {2\pi }}}
⇔
(
x
≡
π
3
ou
π
3
−
π
ou
2
π
3
ou
2
π
3
−
π
)
et
y
≡
π
2
−
x
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{3}}-\pi {\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {2\pi }{3}}-\pi \right){\text{ et }}y\equiv {\frac {\pi }{2}}-x{\pmod {2\pi }}}
⇔
(
x
,
y
)
≡
(
π
3
,
π
6
)
ou
(
−
2
π
3
,
−
5
π
6
)
ou
(
2
π
3
,
−
π
6
)
ou
(
−
π
3
,
5
π
6
)
(
mod
2
π
)
.
{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \left({\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {2\pi }{3}},-{\frac {5\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left({\frac {2\pi }{3}},-{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(-{\frac {\pi }{3}},{\frac {5\pi }{6}}\right){\pmod {2\pi }}.}
2°
cos
(
x
+
y
)
=
1
2
et
cos
(
x
−
y
)
=
3
2
{\displaystyle \cos \left(x+y\right)={\frac {1}{2}}{\text{ et }}\cos \left(x-y\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
⇔
x
+
y
≡
±
π
3
et
x
−
y
≡
±
π
6
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \Leftrightarrow x+y\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\text{ et }}x-y\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}{\pmod {2\pi }}}
⇔
(
y
≡
π
3
−
x
et
2
x
≡
π
2
ou
π
6
)
ou
(
y
≡
−
π
3
−
x
et
2
x
≡
−
π
6
ou
−
π
2
)
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \Leftrightarrow \left(y\equiv {\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}\right){\text{ ou }}\left(y\equiv -{\frac {\pi }{3}}-x{\text{ et }}2x\equiv -{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{2}}\right){\pmod {2\pi }}}
⇔
(
x
,
y
)
≡
±
(
π
4
,
π
12
)
ou
±
(
π
12
,
π
4
)
(
mod
2
π
)
.
{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x,y\right)\equiv \pm \left({\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{12}}\right){\text{ ou }}\pm \left({\frac {\pi }{12}},{\frac {\pi }{4}}\right){\pmod {2\pi }}.}
Résoudre les systèmes suivants, de paramètres
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
et d'inconnue
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
:
1°
{
x
sin
a
+
y
sin
b
=
sin
c
x
cos
a
+
y
cos
b
=
cos
c
;
{\displaystyle {\begin{cases}x\sin a+y\sin b=\sin c\\x\cos a+y\cos b=\cos c~;\end{cases}}}
2°
{
x
sin
a
+
y
sin
2
a
=
sin
3
a
x
sin
3
a
+
y
sin
6
a
=
sin
9
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}x\sin a+y\sin 2a=\sin 3a\\x\sin 3a+y\sin 6a=\sin 9a.\end{cases}}}
Solution
1° Le déterminant de ce système d'équations linéaires est égal à
sin
a
cos
b
−
sin
b
cos
a
=
sin
(
a
−
b
)
{\displaystyle \sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin \left(a-b\right)}
.
Il est nul lorsque
a
=
b
+
k
π
{\displaystyle a=b+k\pi }
(avec
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
), et l'ensemble des solutions est alors
{
(
1
−
(
−
1
)
k
y
,
y
)
∣
y
∈
R
}
{\displaystyle \{\left(1-(-1)^{k}y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}
.
Si
a
−
b
∉
π
Z
{\displaystyle a-b\notin \pi \mathbb {Z} }
, le système est de Cramer et son unique solution est
(
sin
(
c
−
b
)
sin
(
a
−
b
)
,
sin
(
a
−
c
)
sin
(
a
−
b
)
)
{\displaystyle \left({\frac {\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a-b\right)}},{\frac {\sin \left(a-c\right)}{\sin \left(a-b\right)}}\right)}
.
2° Le système équivaut à
{
sin
a
=
0
ou
x
+
2
y
cos
a
=
3
−
4
sin
2
a
sin
3
a
=
0
ou
x
+
2
y
cos
3
a
=
3
−
4
sin
2
3
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}\sin a=0{\text{ ou }}x+2y\cos a=3-4\sin ^{2}a\\\sin 3a=0{\text{ ou }}x+2y\cos 3a=3-4\sin ^{2}3a.\end{cases}}}
Si
a
∈
π
Z
{\displaystyle a\in \pi \mathbb {Z} }
, l'ensemble de ses solutions est donc
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
tout entier.
Si
a
≡
±
2
π
3
mod
2
π
{\displaystyle a\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi }
, l'ensemble de ses solutions est
{
(
3
−
2
y
,
y
)
∣
y
∈
R
}
{\displaystyle \{\left(3-2y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}
.
Si
a
≡
±
π
3
mod
2
π
{\displaystyle a\equiv \pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi }
, l'ensemble de ses solutions est
{
(
−
y
,
y
)
∣
y
∈
R
}
{\displaystyle \{\left(-y,y\right)\mid y\in \mathbb {R} \}}
.
Si
a
∉
π
3
Z
{\displaystyle a\notin {\frac {\pi }{3}}\mathbb {Z} }
, son unique solution est
(
−
2
y
cos
a
+
3
−
4
sin
2
a
,
y
)
{\displaystyle \left(-2y\cos a+3-4\sin ^{2}a,y\right)}
avec (cf. exercice 3-2 )
y
=
−
2
sin
2
a
−
sin
2
3
a
cos
a
−
cos
3
a
=
(
3
−
4
sin
2
a
)
2
−
1
2
cos
a
=
8
(
1
2
−
sin
2
a
)
cos
a
{\displaystyle y=-2{\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}3a}{\cos a-\cos 3a}}={\frac {(3-4\sin ^{2}a)^{2}-1}{2\cos a}}=8\left({\frac {1}{2}}-\sin ^{2}a\right)\cos a}
.
Résoudre le système :
{
x
sin
a
+
y
sin
b
+
z
sin
c
=
0
x
cos
a
+
y
cos
b
+
z
cos
c
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}x\sin a+y\sin b+z\sin c=0\\x\cos a+y\cos b+z\cos c=0.\end{cases}}}
Soit
a
∈
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle a\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
. Résoudre le système :
{
tan
x
+
tan
y
1
−
tan
x
tan
y
=
3
x
−
y
=
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}={\sqrt {3}}\\x-y=a.\end{cases}}}
Résoudre le système :
{
sin
(
x
+
y
)
=
cos
(
x
−
y
)
tan
x
−
tan
y
=
1.
{\displaystyle {\begin{cases}\sin(x+y)=\cos(x-y)\\\tan x-\tan y=1.\end{cases}}}
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
{
cos
x
+
cos
y
=
a
1
cos
x
+
1
cos
y
=
b
;
{\displaystyle {\begin{cases}\cos x+\cos y=a\\{\frac {1}{\cos x}}+{\frac {1}{\cos y}}=b~;\end{cases}}}
2°
{
tan
x
+
tan
y
=
1
cos
2
x
+
cos
2
y
=
m
.
{\displaystyle {\begin{cases}\tan x+\tan y=1\\\cos 2x+\cos 2y=m.\end{cases}}}
Solution de la question 1
Solution de la question 2, particulièrement difficile
2° Les solutions
{
x
,
y
}
{\displaystyle \{x,y\}}
sont entièrement déterminées
(
mod
π
)
{\displaystyle {\pmod {\pi }}}
par
s
=
tan
x
{\displaystyle s=\tan x}
et
t
=
tan
y
{\displaystyle t=\tan y}
, ou encore par
S
=
s
+
t
{\displaystyle S=s+t}
et
P
=
s
t
{\displaystyle P=st}
(elles existent si et seulement si
S
2
≥
4
P
{\displaystyle S^{2}\geq 4P}
).
La première équation donne
S
=
1
{\displaystyle S=1}
et la seconde
1
−
s
2
1
+
s
2
+
1
−
t
2
1
+
t
2
=
m
{\displaystyle {\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}=m}
, qui se réécrit
m
(
1
+
t
2
)
(
1
+
s
2
)
=
(
1
−
s
2
)
(
1
+
t
2
)
+
(
1
−
t
2
)
(
1
+
s
2
)
{\displaystyle m(1+t^{2})(1+s^{2})=(1-s^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})(1+s^{2})}
,
ou encore
m
(
2
−
2
P
+
P
2
)
=
2
(
1
−
P
2
)
{\displaystyle m(2-2P+P^{2})=2(1-P^{2})}
,
soit
(
m
+
2
)
P
2
−
2
m
P
+
2
(
m
−
1
)
=
0
{\displaystyle (m+2)P^{2}-2mP+2(m-1)=0}
.
Si
m
=
−
2
{\displaystyle m=-2}
, cette équation devient
P
=
3
2
{\displaystyle P={\frac {3}{2}}}
, donc il n'y a pas de solution (car
S
2
<
4
P
{\displaystyle S^{2}<4P}
).
Si
m
≠
−
2
{\displaystyle m\neq -2}
, le discriminant réduit,
Δ
′
=
m
2
−
2
(
m
−
1
)
(
m
+
2
)
=
−
(
m
2
+
2
m
−
4
)
{\displaystyle \Delta '=m^{2}-2(m-1)(m+2)=-(m^{2}+2m-4)}
, est positif si et seulement si
−
1
−
5
≤
m
≤
−
1
+
5
{\displaystyle -1-{\sqrt {5}}\leq m\leq -1+{\sqrt {5}}}
, et les racines sont alors
P
±
=
m
±
Δ
′
m
+
2
{\displaystyle P_{\pm }={\frac {m\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m+2}}}
; il reste à déterminer leur position par rapport à
S
2
4
=
1
4
{\displaystyle {\frac {S^{2}}{4}}={\frac {1}{4}}}
.
(
m
+
2
)
1
4
2
−
2
m
4
+
2
(
m
−
1
)
=
m
+
2
−
8
m
+
32
(
m
−
1
)
4
2
=
5
(
5
m
−
6
)
4
2
{\displaystyle (m+2){\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {2m}{4}}+2(m-1)={\frac {m+2-8m+32(m-1)}{4^{2}}}={\frac {5(5m-6)}{4^{2}}}}
, et si
m
>
6
5
{\displaystyle m>{\frac {6}{5}}}
alors
P
+
+
P
−
2
=
m
m
+
2
>
1
4
{\displaystyle {\frac {P_{+}+P_{-}}{2}}={\frac {m}{m+2}}>{\frac {1}{4}}}
. On a donc :
si
m
>
6
5
{\displaystyle m>{\frac {6}{5}}}
, pas de solution ;
si
−
2
<
m
≤
6
5
{\displaystyle -2<m\leq {\frac {6}{5}}}
, seule
P
−
{\displaystyle P_{-}}
est
≤
1
4
{\displaystyle \leq {\frac {1}{4}}}
;
si
−
1
−
5
≤
m
<
−
2
{\displaystyle -1-{\sqrt {5}}\leq m<-2}
,
P
+
≤
P
−
<
1
4
{\displaystyle P_{+}\leq P_{-}<{\frac {1}{4}}}
.
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
{
sin
x
+
sin
y
=
a
cos
x
+
cos
y
=
b
;
{\displaystyle {\begin{cases}\sin x+\sin y=a\\\cos x+\cos y=b~;\end{cases}}}
2°
{
tan
x
+
tan
y
=
1
cos
x
cos
y
=
a
;
{\displaystyle {\begin{cases}\tan x+\tan y=1\\\cos x\cos y=a~;\end{cases}}}
3°
{
cos
2
x
+
cos
2
y
=
1
cos
x
+
cos
y
=
m
.
{\displaystyle {\begin{cases}\cos 2x+\cos 2y=1\\\cos x+\cos y=m.\end{cases}}}
Solution
1° Si
a
=
b
=
0
{\displaystyle a=b=0}
, les solutions
{
x
,
y
}
{\displaystyle \{x,y\}}
sont
{
x
,
x
+
(
2
k
+
1
)
π
}
x
∈
R
,
k
∈
Z
{\displaystyle \{x,x+(2k+1)\pi \}\quad x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} }
. Supposons maintenant
a
2
+
b
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
. Alors,
y
mod
2
π
{\displaystyle y\mod 2\pi }
sera entièrement déterminé en fonction de
x
{\displaystyle x}
par son cosinus (
a
−
sin
x
{\displaystyle a-\sin x}
) et son sinus (
b
−
cos
x
{\displaystyle b-\cos x}
), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c'est-à-dire que
(
a
−
sin
x
)
2
+
(
b
−
cos
x
)
2
=
1
{\displaystyle (a-\sin x)^{2}+(b-\cos x)^{2}=1}
, ce qui équivaut à
b
a
2
+
b
2
cos
x
+
a
a
2
+
b
2
sin
x
=
a
2
+
b
2
2
{\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}}
.
On détermine les solutions
x
{\displaystyle x}
par la méthode habituelle, cf. Cas général (il en existe si et seulement si
a
2
+
b
2
≤
4
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\leq 4}
).
2° Il faut bien sûr supposer
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
. Le système équivaut alors à
sin
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
=
a
{\displaystyle \sin(x+y)=\cos x\cos y=a}
.
Si
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
, pas de solution. Si
|
a
|
≤
1
{\displaystyle |a|\leq 1}
,
x
+
y
mod
2
π
{\displaystyle x+y\mod 2\pi }
est déterminé par
sin
(
x
+
y
)
=
a
{\displaystyle \sin(x+y)=a}
et
cos
(
x
+
y
)
=
ε
1
−
a
2
{\displaystyle \cos(x+y)=\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}}
, avec
ε
=
±
1
{\displaystyle \varepsilon =\pm 1}
, et la seconde équation équivaut alors à
cos
(
x
−
y
)
=
2
a
−
ε
1
−
a
2
{\displaystyle \cos(x-y)=2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}}
. Or
(
2
a
−
ε
1
−
a
2
)
2
≤
1
⇔
ε
a
=
|
a
|
≤
4
5
{\displaystyle \left(2a-\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}\right)^{2}\leq 1\Leftrightarrow \varepsilon a=|a|\leq {\frac {4}{5}}}
.
Finalement, il y a des solutions si et seulement si
|
a
|
≤
4
5
{\displaystyle |a|\leq {\frac {4}{5}}}
, et elles sont alors données, pour
α
,
β
∈
R
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
tels que
sin
α
=
a
{\displaystyle \sin \alpha =a}
,
cos
α
=
a
|
a
|
1
−
a
2
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}}
et
cos
β
=
2
a
−
a
|
a
|
1
−
a
2
{\displaystyle \cos \beta =2a-{\frac {a}{|a|}}{\sqrt {1-a^{2}}}}
, par :
x
+
y
≡
α
mod
2
π
{\displaystyle x+y\equiv \alpha \mod 2\pi }
et
x
−
y
=
±
β
mod
2
π
{\displaystyle x-y=\pm \beta \mod 2\pi }
, c'est-à-dire
y
≡
α
−
x
mod
2
π
{\displaystyle y\equiv \alpha -x\mod 2\pi }
et
x
≡
α
±
β
2
mod
π
{\displaystyle x\equiv {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\mod \pi }
.
3° Le système équivaut à
cos
x
=
u
,
cos
y
=
v
{\displaystyle \cos x=u,\cos y=v}
(ce qui détermine
x
,
y
{\displaystyle x,y}
à
±
{\displaystyle \pm }
près et
mod
2
π
{\displaystyle \mod 2\pi }
), avec
u
+
v
=
m
et
u
v
=
P
:=
m
2
2
−
3
4
{\displaystyle u+v=m{\text{ et }}uv=P:={\frac {m^{2}}{2}}-{\frac {3}{4}}}
.
Cf. Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits : il existe des solutions si et seulement si
|
m
|
−
1
4
≤
m
2
2
{\displaystyle |m|-{\frac {1}{4}}\leq {\frac {m^{2}}{2}}}
et
|
m
|
≤
3
{\displaystyle |m|\leq {\sqrt {3}}}
.
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
1°
{
tan
x
+
tan
y
=
a
tan
(
x
+
y
)
=
b
;
{\displaystyle {\begin{cases}\tan x+\tan y=a\\\tan \left(x+y\right)=b~;\end{cases}}}
2°
{
sin
x
sin
y
=
a
cos
x
+
cos
y
=
b
.
{\displaystyle {\begin{cases}\sin x\sin y=a\\\cos x+\cos y=b.\end{cases}}}
Solution de la question 1
Solution de la question 2, particulièrement difficile
2° Les solutions sont déterminées
mod
2
π
{\displaystyle \mod 2\pi }
par leur cosinus et le signe de leur sinus.
Le signe de
a
{\displaystyle a}
détermine celui de
sin
x
sin
y
{\displaystyle \sin x\sin y}
et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant
u
=
cos
x
{\displaystyle u=\cos x}
et
v
=
cos
y
{\displaystyle v=\cos y}
et
P
=
u
v
{\displaystyle P=uv}
, à
(
1
−
u
2
)
(
1
−
v
2
)
=
a
2
et
u
+
v
=
b
{\displaystyle \left(1-u^{2}\right)\left(1-v^{2}\right)=a^{2}{\text{ et }}u+v=b}
, ou encore :
P
2
+
2
P
+
1
−
b
2
−
a
2
=
0
et
u
+
v
=
b
{\displaystyle P^{2}+2P+1-b^{2}-a^{2}=0{\text{ et }}u+v=b}
, c'est-à-dire
P
=
−
1
±
a
2
+
b
2
et
u
+
v
=
b
{\displaystyle P=-1\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\text{ et }}u+v=b}
. Les 2 solutions
u
,
v
{\displaystyle u,v}
de
z
2
−
b
z
+
P
=
0
{\displaystyle z^{2}-bz+P=0}
appartiennent à
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
si et seulement si
b
2
≥
4
P
{\displaystyle b^{2}\geq 4P}
,
|
b
|
≤
2
{\displaystyle |b|\leq 2}
et
|
b
|
≤
P
+
1
{\displaystyle |b|\leq P+1}
. Il faut donc que
P
=
−
1
+
a
2
+
b
2
{\displaystyle P=-1+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
(et non pas
−
1
−
a
2
+
b
2
{\displaystyle -1-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
), et la condition d'existence de solutions
(
u
,
v
)
∈
[
−
1
,
1
]
2
{\displaystyle \left(u,v\right)\in \left[-1,1\right]^{2}}
est alors :
4
a
2
+
b
2
≤
b
2
+
4
≤
8
{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq b^{2}+4\leq 8}
.