« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m →Exercice 9-8 : oups |
→Exercice 9-6 : Solution de la question 1 + Solution de la question 2, particulièrement difficile |
||
Ligne 70 :
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
'''1°''' <math>\begin{cases}
'''2°''' <math>\begin{cases}
{{Solution|titre=Solution de la question 1|contenu=
'''1°''' Lorsque <math>b=0</math>, le système n'a de solutions que si <math>a=0</math> et est alors équivalent à <math>y\equiv\pm\left(x+\pi\right)\mod2\pi</math>.
:Lorsque <math>b\ne0</math>, le système est équivalent à <math>\cos x+\cos y=a\text{ et }\cos x\cos y=\frac ab</math>. D'après le cours (cf. [[../../Équations et inéquations trigonométriques#Condition d'existence de deux cosinus (ou deux sinus) de somme et produit prescrits|Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits]]), il a donc des solutions si et seulement si <math>|a|\le2\text{ et }|a|-1\le\frac ab\le\frac{a^2}4</math>, et les solutions <math>\{x,y\}\pmod{2\pi}</math> sont alors <math>\left\{\pm\arccos c_+,\pm\arccos c_-\right\}</math>, avec <math>c_\pm=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4\frac ab}}2</math>.
}}
{{Solution|titre=Solution de la question 2, particulièrement difficile|contenu=
'''2°''' Les solutions <math>\{x,y\}</math> sont entièrement déterminées <math>\pmod\pi</math> par <math>s=\tan x</math> et <math>t=\tan y</math>, ou encore par <math>S=s+t</math> et <math>P=st</math> (elles existent si et seulement si <math>S^2\ge4P</math>).
:La première équation donne <math>S=1</math> et la seconde <math>\frac{1-s^2}{1+s^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=m</math>, qui se réécrit
::<math>m(1+t^2)(1+s^2)=(1-s^2)(1+t^2)+(1-t^2)(1+s^2)</math>,
:ou encore
::<math>m(2-2P+P^2)=2(1-P^2)</math>,
:soit
::<math>(m+2)P^2-2mP+2(m-1)=0</math>.
:Si <math>m=-2</math>, cette équation devient <math>P=\frac32</math>, donc il n'y a pas de solution (car <math>S^2<4P</math>).
:Si <math>m\ne-2</math>, le discriminant réduit, <math>\Delta'=m^2-2(m-1)(m+2)=-(m^2+2m-4)</math>, est positif si et seulement si <math>-1-\sqrt5\le m\le-1+\sqrt5</math>, et les racines sont alors <math>P_\pm=\frac{m\pm\sqrt{\Delta'}}{m+2}</math> ; il reste à déterminer leur position par rapport à <math>\frac{S^2}4=\frac14</math>.
::<math>(m+2)\frac1{4^2}-\frac{2m}4+2(m-1)=\frac{m+2-8m+32(m-1)}{4^2}=\frac{5(5m-6)}{4^2}</math>, et si <math>m>\frac65</math> alors <math>\frac{P_++P_-}2=\frac m{m+2}>\frac14</math>. On a donc :
:*si <math>m>\frac65</math>, pas de solution ;
:*si <math>-2<m\le\frac65</math>, seule <math>P_-</math> est <math>\le\frac14</math> ;
:*si <math>-1-\sqrt5\le m<-2</math>, <math>P_-\le P_+<\frac14</math>.
}}
== Exercice 9-7 ==
| |||