« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2 » : différence entre les versions
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→Exercice 11-2 : synthèse, cf. 24/7/2017 à 1 h 26 |
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Ligne 25 :
== Exercice 11-2 ==
'''1°'''
::<math>
:'''a)''' Calculer la somme :
::<math>S_n=\
:'''b)''' La suite <math>\left(S_n\right)</math> a-t-elle une limite
{{Solution|contenu=
:'''a)''' Montrons par récurrence que
:Par définition, on a bien <math>S_0=\arctan1</math>.▼
:Il suffit donc de montrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\arctan n+\arctan\frac1{n^2+n+1}=\arctan(n+1)</math>.▼
:*Première méthode. Cela résulte des trois points suivants :▼
:**les trois angles <math>a:=\arctan n</math>, <math>b:=\arctan\frac1{n^2+n+1}</math> et <math>c:=\arctan(n+1)</math> appartiennent à <math>\left]0,\frac{\pi}2\right[</math> ;▼
:**<math>\tan a\tan b<1</math> (donc, compte tenu du point précédent : <math>a+b\in\left]0,\frac{\pi}2\right[</math>) ;▼
:**<math>\tan(a+b)=\tan c</math> (d'après la [[Trigonométrie/Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|formule sur la tangente d'une somme]]).▼
:*Seconde méthode. Les deux fonctions <math>x\mapsto\arctan\frac1{x^2+x+1}</math> et <math>x\mapsto\arctan(x+1)-\arctan x</math> sont égales car elles coïncident en <math>0</math> et ont même dérivée.▼
:'''b)''' <math>\lim\arctan(n+1)=\lim_{+\infty}\arctan=\frac\pi2</math>.
}}
'''2°''' Mêmes questions si :
::<math>
{{Solution|contenu=}}
▲Montrons par récurrence que cette somme <math>S_n</math> est égale à <math>\arctan(n+1)</math>.
▲Par définition, on a bien <math>S_0=\arctan1</math>.
▲Il suffit donc de montrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\arctan n+\arctan\frac1{n^2+n+1}=\arctan(n+1)</math>.
▲*Première méthode. Cela résulte des trois points suivants :
▲**les trois angles <math>a:=\arctan n</math>, <math>b:=\arctan\frac1{n^2+n+1}</math> et <math>c:=\arctan(n+1)</math> appartiennent à <math>\left]0,\frac{\pi}2\right[</math> ;
▲**<math>\tan a\tan b<1</math> (donc, compte tenu du point précédent : <math>a+b\in\left]0,\frac{\pi}2\right[</math>) ;
▲**<math>\tan(a+b)=\tan c</math> (d'après la [[Trigonométrie/Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|formule sur la tangente d'une somme]]).
▲*Seconde méthode. Les deux fonctions <math>x\mapsto\arctan\frac1{x^2+x+1}</math> et <math>x\mapsto\arctan(x+1)-\arctan x</math> sont égales car elles coïncident en <math>0</math> et ont même dérivée.
== Exercice 11-3 ==
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