« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2 » : différence entre les versions
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→Exercice 11-2 : synthèse, cf. 24/7/2017 à 1 h 26 |
→Exercice 11-2 : sol |
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Ligne 33 :
:'''a)''' Montrons par récurrence que <math>S_n=\arctan(n+1)</math>.
:Par définition, on a bien <math>S_0=\arctan1</math>.
:Il suffit donc de montrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\
:*Première méthode. Cela résulte des trois points suivants :
:**les trois angles <math>a:=\arctan n</math>, <math>b:=\
:**<math>\tan a\tan b<1</math> (donc, compte tenu du point précédent : <math>a+b\in\left]0,\frac{\pi}2\right[</math>) ;
:**<math>\tan(a+b)=\tan c</math> (d'après la [[Trigonométrie/Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|formule sur la tangente d'une somme]]).
:*Seconde méthode. Les deux fonctions <math>x\mapsto\arctan\frac1{x^2+x+1}</math> et <math>x\mapsto\arctan(x+1)-\arctan x</math> sont égales car elles coïncident en <math>0</math> et ont même dérivée.
:'''b)''' <math>\lim
}}
'''2°''' Mêmes questions si :
::<math>\theta_n=\arctan\frac2{(n+1)^2}=\arctan\frac{n+2-n}{1+n(n+2)}</math>.
{{Solution|contenu=
Par la même méthode que dans la question 1, on montre que pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\theta_n=\arctan(n+2)-\arctan n</math>, et l'on en déduit que
:<math>S_n=\arctan(n+2)+\arctan(n+1)-\frac\pi4</math> donc
:<math>\lim S_n=2\lim_{+\infty}\arctan-\frac\pi4=\frac{3\pi}4</math>.
}}
== Exercice 11-3 ==
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