« Axiomes de Peano » : différence entre les versions

 

==Quelques autres conséquences==

*On peut enfin énoncer le '''théorème de récurrence''', qui est une version affaiblie de l'axiome (P5) : si <math>\mathcal P</math> est un prédicat dans le [[Logique formelle/Calcul des prédicats|langage du premier ordre]] sur <math>\{0,+,\times,\le\}</math> tel que :

**<math>\mathcal P(0)</math> est vraie — c'est l''''initialisation''' de la récurrence,

 

==Axiomatisation équivalente==

 

<math>(\N,\leq)</math> est un ensemble ordonné non vide vérifiant :

* (N3) : <math>\N</math> lui-même n'a pas de plus grand élément.

 

Soit <math>\N</math> comme ci-dessus.

*L'ordre sur <math>\N</math> est total puisque toute paire a un plus petit élément.

*Tout <math>n\in\N\setminus\{0\}</math> possède un antécédent par <math>S</math>. En effet, l'ensemble <math>B</math> des minorants stricts de <math>n</math> contient <math>0</math> et est majoré par <math>n</math>. D'après (N2), <math>B</math> admet donc un plus grand élément, <math>m</math>. Pour tout <math>x\in\N</math>, on a <math>x<n\Leftrightarrow x\in B\Leftrightarrow x\le m\Leftrightarrow x<S(m)</math>. En particulier, on n'a ni <math>S(m)<n</math>, ni <math>n<S(m)</math>, donc <math>n=S(m)</math>.

*(P5) : Soit <math>E\subset\N</math> tel que <math>0\in E</math> et <math>S(E)\subset E</math>, montrons par l'absurde que <math>E=\N</math>. Sinon, d'après (N1), il existerait un plus petit entier n'appartenant pas à <math>E</math>, notons le <math>n</math>. Comme <math>0\in E</math>, <math>n</math> est non nul, et admet donc un antécédent par <math>S</math>, qu'on note <math>m</math>. Ainsi, <math>m<n</math> et donc par définition de <math>n</math>, <math>m\in E</math>, d'où <math>n=S(m)\in S(E)\subset E</math>, ce qui est contradictoire.

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