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« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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Ligne 31 :
Le symbole <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.
 
{{Exemple|contenu=Soit <math>\lambda\in\RC</math>. Montrer que <math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si <math>\operatorname{Re}(\lambda)>0</math>, et calculer dans ce cas la valeur de cette intégrale.
{{Solution|contenu=
Si <math>\lambda=0</math>, <math>\int_0^x\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt=x\,\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty</math>.
 
Si <math>\lambda\ne0</math>, <math>\int_0^x\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt=\left[\frac{\operatorname e^{-\lambda t}}{-\lambda}\right]_0^x=\frac{1-\operatorname e^{-\lambda x}}\lambda\,\xrightarrow[</math> admet une limite finie (quand <math>x\to +\infty]{}\begin{cases}+\infty&\text{</math>) si et seulement si }\lambda<0\\\frac1math>\lambda&\textoperatorname{si Re}(\lambda)>0.</math>, et cette limite vaut alors <math>\end{cases}frac1\lambda</math>.
}}
}}
 
=== Premières propriétés ===
Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées '''convergentes''' :
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