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« Matrice/Inverse » : différence entre les versions

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| titre =Matrice inversible et sa matrice inverse
| contenu =
Soit <math>MA</math> une matrice carrée de taille ''n × n''. Lorsqu'elle existe, on appelle '''inverse''' de <math>MA</math>, et l'on note <math>MA^{-1}</math>, une matrice telle que :
<math>MA\,MA^{-1}=MA^{-1}\,MA=\mathrm I_n</math>.
Cette matrice inverse (nécessairement de taille ''n × n'') est alors unique, et <math>MA</math> est dite '''inversible'''.
}}
 
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*si <math>A</math> est inversible alors <math>A^{-1}</math> l'est aussi, et
*:<math>\left(A^{-1}\right)^{-1}=A</math> ;
*si <math>A,B\in\mathrm{GL}_n \left(K\right)</math> alors le produit <math>AB</math> est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses, '''dans l'ordre contraire''' :
*:<math>\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} </math>.
 
==Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité==
===Non-nullité du déterminant===▼
Si <math>MA</math> est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque▼
:<math>\det\left(MA^{-1}\right)\det MA=\det\left(MA^{-1}MA\right)=\det\left(\mathrm I_n\right)=1</math>.▼
LaRéciproquement, si <math>\det A\ne0</math> alors la formule de Laplace (cf. chapitre précédent) fournit,prouve lorsqueque <math>\det A</math> est inversible, et fournit une expression de la matriceson inverse, à partir de la ''transposée'' de la comatrice de <math>A</math> :▼
{{Théorème|contenu=▼
Une matrice carrée <math>MA</math> est inversible si (et seulement si) <math>\det MA\ne0</math>., et dans ce cas, on a :▼
<div style="text-align: center;"><math>A^{-1}=\frac1{\det A}\,{}^t\!\left(\operatorname{com}A\right)</math>.</div>▼
}}▼
Cette réciproquecondition nécessaire d'inversibilité n'est garantiesuffisante que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.▼
 
Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans <math>\mathrm M_n(\R)</math> et dans <math>\mathrm M_n(\C)</math>:▼
*le sous-ensemble des matrices inversibles est dense (cf. [[Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-2 : densité de GLn]]) ;▼
*son complémentaire est [[w:Ensemble négligeable|négligeable]], c.-à-d. de [[w:Mesure de Lebesgue|mesure de Lebesgue]] nulle<ref>{{Lien web|auteur=Alexandre Bailleul|titre=Mesure de M{{ind|''n''}}('''R''')\GL{{ind|''n''}}('''R''')|url=http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~abailleu/divers/compGLn.pdf|site=perso.eleves.[[w:École normale supérieure de Rennes|ens-rennes]].fr/~abailleu/}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur=Boris Mityagin|titre=The zero set of a real analytic function|revue=[[w:arXiv|arXiv]]|year=2015|url=https://arxiv.org/abs/1512.07276}}.</ref>.▼
 
===Conditions équivalentes===
{{Théorème|contenu=
Ligne 73 ⟶ 87 :
**pour tout ''b'' dans ''K{{exp|n}}'', le système ''AX = b'' a au moins une solution .
}}
▲===Non-nullité du déterminant===
▲Si <math>M</math> est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque
▲:<math>\det\left(M^{-1}\right)\det M=\det\left(M^{-1}M\right)=\det\left(\mathrm I_n\right)=1</math>.
Réciproquement :
 
▲{{Théorème|contenu=
▲Une matrice carrée <math>M</math> est inversible si (et seulement si) <math>\det M\ne0</math>.
▲}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si <math>M</math> n'est pas inversible alors ses colonnes sont liées (d'après le théorème précédent) donc son déterminant est nul.
}}
▲Cette réciproque n'est garantie que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.
 
▲Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans <math>\mathrm M_n(\R)</math> et dans <math>\mathrm M_n(\C)</math>:
▲*le sous-ensemble des matrices inversibles est dense (cf. [[Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-2 : densité de GLn]]) ;
▲*son complémentaire est [[w:Ensemble négligeable|négligeable]], c.-à-d. de [[w:Mesure de Lebesgue|mesure de Lebesgue]] nulle<ref>{{Lien web|auteur=Alexandre Bailleul|titre=Mesure de M{{ind|''n''}}('''R''')\GL{{ind|''n''}}('''R''')|url=http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~abailleu/divers/compGLn.pdf|site=perso.eleves.[[w:École normale supérieure de Rennes|ens-rennes]].fr/~abailleu/}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur=Boris Mityagin|titre=The zero set of a real analytic function|revue=[[w:arXiv|arXiv]]|year=2015|url=https://arxiv.org/abs/1512.07276}}.</ref>.
 
== Calcul de l'inverse ==
▲La formule de Laplace (cf. chapitre précédent) fournit, lorsque <math>\det A</math> est inversible, une expression de la matrice inverse, à partir de la ''transposée'' de la comatrice de <math>A</math> :
▲<div style="text-align: center;"><math>A^{-1}=\frac1{\det A}\,{}^t\!\left(\operatorname{com}A\right)</math>.</div>
 
Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.
 
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