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Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni simplifiable à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices carrées sont simplifiables (des deux côtés) et même inversibles, sous réserve que l'anneau K soit un corps commutatif (comme , ou ), ce que nous supposerons désormais.

Inverse
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Chapitre no 7
Leçon : Matrice
Chap. préc. :Déterminant
Chap. suiv. :Matrice d'une application linéaire

Exercices :

Déterminant
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Matrice/Inverse
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Wikipédia possède un article à propos de « Matrice inversible ».

Exemple motivant

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Soit une équation simple impliquant des nombres réels :

 .

On suppose   non nul. Alors la solution existe, est unique, et il s'agit de :

 .

On cherche à trouver quelque chose d'analogue pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type :

 .

Définition

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Groupe des matrices inversibles

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Puisque   est un anneau, on a immédiatement :

Par conséquent :

  • si   est inversible alors   l'est aussi, et
      ;
  • si   alors le produit   est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses, dans l'ordre contraire :
     .

Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité

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Non-nullité du déterminant

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Si   est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque

 .

Réciproquement, si   alors la formule de Laplace (cf. chapitre précédent) prouve que   est inversible, et fournit une expression de son inverse :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Cette condition nécessaire d'inversibilité n'est suffisante que lorsque K est un corps commutatif. Si K est seulement un anneau commutatif, la condition   est à remplacer par :   est inversible dans K. Par exemple dans  , les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à  .

Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans   et dans  :

Conditions équivalentes

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Calcul de l'inverse

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Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

Cas des matrices 2 × 2

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Un cas très simple (et à mémoriser) est celui des matrices de taille 2 × 2, dont l'inverse est facile à calculer :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas général

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Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Élimination de Gauss-Jordan ».
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Référence

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  1. Alexandre Bailleul, « Mesure de Mn(R)\GLn(R) », sur abailleul.perso.math.cnrs.fr.
  2. Boris Mityagin, « The zero set of a real analytic function », arXiv, 2015 [texte intégral].