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:: Pour une première approche, on considère un échantillonnage de <math> 2k+1 </math> couples de type <math> ( x^*, y^*) </math> ou <math> ( t^*, y^*) </math>, si la variable d'entrée est le temps t, rangés dans l'ordre crioissant des x ou t.
:: Les x et les t sont à intervalles équipotents de 1. L'indice est considéré variant de <math> -k </math> à <math> +k </math> au pas de 1.
:: La valeur centrale <math> y_0 </math> est connue pour la valeur 0 de l'indice.
== Harmonique simple de régression unipulsatoire ==
=== Méthode ===
: L'équation de la courbe de l'harmonique peut se ramener à la forme :
: <center> <math> y = y_0 + S*sin( \omega*t) +C*(1-cos( \omega*t )) </math> </center>
:: Avec les propriétés suivantes :
:- La somme des carrés des écarts des <math> y_k </math> aux <math> y(k) </math> est minimale pour un <math> \omega </math> donné ( propriété de base de la régression )
: <center> Propriété P1 : <math> \sum_{i=-k}^{i=+k} (y_i - y(i))^2</math> minimale </center>
:: Parmi toutes ces harmoniques obtenues pour tous les <math> \omega </math>, une pour chaque, certaines sont plus probables que d'autres. Exemples :
::_ celles où <math> y_{max}-y_{min} </math> est minimale ou inférieure à une valeur donnée<math> \epsilon </math>. (Condition C1)
::_ celles où la valeur absolue de la différence entre <math> y_{max}-y_{min}</math> et {la moyenne des k plus grands y – la moyenne de k plus petits y} hors <math>y_0</math> est minimale ou inférieure à une valeur donnée <math> \epsilon </math>(Condition C2).
::_ celles où la puissance de y minimale : <math> (C^2+ S^2)\omega </math> est minimale ou inférieure à une valeur donnée <math>\epsilon</math>(Condition C3).
::_ ou d'autres conditions. On quitte le domaines des maths pures pour les maths appliquées.
=== Application ===
==== 2k+1 couples ====
===== Méthode directe =====
====== Calcul de S et C de régression ======
: P1 : Se traduit par le système : <math>(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_i-y(i))^2)'_S=0</math> et <math>(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_i-y(i))^2)'_C=0</math>
::<math>\begin{cases}
(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_i-y(i))^2)'_S=0 \\ (\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_i-y(i))^2)'_C=0\\
\end{cases}</math>
::<math>\begin{cases}
(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_0-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^2)'_s=0 \\
(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_0-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^2)'_c=0
\end{cases}</math>
::<math>\begin{cases}
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y(i)-y_0-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0\\ (\sum_{i=-k}^{i=+k} (1-cos(\omega i))(y(i)-y_0-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0
\end{cases}</math>
::<math>\begin{cases}
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y(i)-y_0)=Ssin(\omega i)^2+Csin(\omega i)(1-cos(\omega i))\\ (\sum_{i=-k}^{i=+k} (1-cos(\omega i))(y(i)-y_0)=Ssin(\omega i)(1-cos(\omega i))+C(1-cos(\omega i))^2
\end{cases}</math>
:: Et après simplification vu les parités :
::<math>\begin{cases}
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)y(i)=Ssin(\omega i)^2\\ (\sum_{i=-k}^{i=+k} (1-cos(\omega i))y(i)=C(1-cos(\omega i))^2
\end{cases}</math>
<center>D'où S et C : <math>S = \frac{\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{ \sum _{i=-k}^{i=+k} sin^2(\omega i)}</math> et <center><math>C = \frac{\sum_{i=-k}^{i=+k} y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^2}</math></center>
====== Calcul de wt optimal et des maxi-mini ======
:: <center> <math> y = y_0 + S*sin( \omega*t) +C*(1-cos( \omega*t )) </math> </center>
:: <center> <math> y '(t)= \omega Scos(\omega*t) + \omega Csin(\omega*t )) </math> </center>
:: Pour <math>t_M </math> et <math> t_m </math> on obtient les extrèmum et <math> y' (t_M ; t_m)= 0 </math>
:: D'où <math> \omega*t_{m,m} </math> par <center><math> tan(\omega*t_{M,m})=-\frac{S}{C}</math></center>
:: <center> <math> \omega t_M = atan (-\frac{S}{C}) </math></center>
:: <center> <math> \omega t_m = atan (-\frac{S}{C}) + \pi </math></center>
:: Aux extrémum, en substituant <math> \omega*t_{M,m} </math>, on obtient <math> y_M ,y_m </math> soit :
:: <center> <math> y (w) = y_0 + S*sin(atan (-\frac{S}{C})) +C*(1-cos(atan (-\frac{S}{C}))) </math> </center>
:: Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :
<center><math> y (w) = S*sin(atan (-\frac{S}{C})) +C*(1-cos(atan (-\frac{S}{C})))</math></center>
: Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée <math> \omega_{opt} </math>.
:: <center> <math> y = y_0 + S(\omega_{opt})sin(\omega_{opt}*t) +C(\omega_{opt})*(1-cos(\omega_{opt}*t )) </math> </center>
===== Méthode par décomposition paritaire =====
: <math>y(i)=y_I(i) +y_P(i) </math> avec <math>y_I = 0+Ssin(\omega t) </math> et <math>y_P= y_0 + C(1-cos( \omega t))</math>
: avec <math>y_I(i) = \frac{y(i)-y(-i)}{2}</math> et <math>y_P(i) = \frac{y(i)+y(-i)}{2}</math> par définition des parties impaires etr paires d'une fonction ou d'un échantillonnage.
: Chercher la régressions de y, ce peut être dans certains cas de superpositions de phénomènes, chercher séparément les régressions propres de y_I et y_P puis les ajouter.
: On écrit les conditions de régression pour chaque partie et on les traduit :
::<math>\begin{cases}(\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^2)'_S=0 \\ (\sum_{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^2)'_C =0 \end{cases}</math>
::<math> \begin{cases} \sum_{i=-k}^{i=+k} sin(\omega i)(y_Ii-y(i))=0 \\\sum_{i=-k}^{i=+k} (1-cos(\omega i))(y_Pi-y(i))=0\end{cases}</math>
::<math> \begin{cases} \sum_{i=-k}^{i=+k} sin(\omega i)(y_Ii-Ssin(\omega t))=0 \\ \sum_{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega t))(y_Pi-y_0 + C(1-cos( \omega t))=0\end{cases}</math>
:: <center>D'où S et C : <math>S = \frac{\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Ii}sin(\omega i)}{ \sum _{i=-k}^{i=+k} sin^2(\omega i)}</math> et <center><math>C = \frac{\sum_{i=-k}^{i=+k} y_{Pi}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^2}</math></center>
:: Or : <math> \frac{\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Pi}sin(\omega i)}{ \sum _{i=-k}^{i=+k} sin^2(\omega i)} = 0 </math>
:: Et : <math> \frac{\sum_{i=-k}^{i=+k} y_{Ii}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^2} =0 </math>
:: D'où en sommant terme à terme :
:: <center> <math>S = \frac{\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{ \sum _{i=-k}^{i=+k} sin^2(\omega i)}</math> et <center><math>C = \frac{\sum_{i=-k}^{i=+k} y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^2}</math></center>
:: Ce qui par ailleurs affranchit donc de la parité du nombre de couples ( 2k ou 2k+1 )
: La suite des calculs 122112 est la même afin d'obtenir une valeur unique de <math> \omega </math>
::<center> <math> \omega t_M = atan (-\frac{S}{C}) </math></center>
:: <center> <math> \omega t_m = atan (-\frac{S}{C}) + \pi </math></center>
:: Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :
<center><math> y (w) = S*sin(atan (-\frac{S}{C})) +C*(1-cos(atan (-\frac{S}{C})))</math></center>
: Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée <math> \omega_{opt} </math>.
:: <center> <math> y = y_0 + S(\omega_{opt})sin(\omega_{opt}*t) +C(\omega_{opt})*(1-cos(\omega_{opt}*t )) </math> </center>
:: Si le nombre de couples est pair <math>t=0,5+k</math> et <math>t=0,5-k</math> sans <math>y_0</math>
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