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Ligne 95 :
: <center> <math> y^*(i) = y_0 + \sum _{n=3}^{n=N}S_n*sin(\frac{2\pi}{n}*i) + \sum _{n=3}^{n=N}C_n
(1-cos(\frac{2\pi}{n}*i) ) </math> </center>
: Procédure :
:: partager y* en partie paire ( cos et terme constant ) et impaire ( sin ) ;
:: écrire les conditions de régression pour chaque partie, comme quoi les sommes des carrés des différences sont minimales et que donc les dérivées par rapport à chaque S et chaque C sont nulles. Cela permet d'obtenir deux systèmes de n équations linéaires, un en S et un en C, résolvables en C et S.
: On obtient:
::<math>S_n= \frac{\begin{vmatrix}
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{1}*i) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}y^*_i sin(\frac{2\pi*i}{1}) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{2}*i) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}y^*_i sin(\frac{2\pi*i}{2}) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{2}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
{\cdots} {\cdots} &{\cdots} {\cdots} & {\cdots} {\cdots} & {\cdots} {\cdots} & {\cdots} {\cdots}\\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{n}*i) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}y^*_i sin(\frac{2\pi*i}{n}) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{n}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}\\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{N}*i) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}y^*_i sin(\frac{2\pi*i}{N}) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{N}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i)
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{1}*i) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\frac{2\pi*i}{1} ) sin(\frac{2\pi*i}{1}) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{2}*i) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\frac{2\pi*i}{2} ) sin(\frac{2\pi*i}{2}) &{\cdots}& \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{2}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}\\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{n}*i) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\frac{2\pi*i}{n} )sin(\frac{2\pi*i}{n}) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\frac{2\pi}{n}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}&{\cdots} {\cdots}\\
\sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{1}*i) sin( \frac{2\pi}{N}*i) & {\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin(\frac{2\pi*i}{N})in(\frac{2\pi*i}{N}) &{\cdots} & \sum_{i=-k}^{i=+k}sin( \frac{2\pi}{N}*i) sin( \frac{2\pi} {N}*i) \\
\end{vmatrix}}</math>
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: Alors que la Transformée de Fourier décompose uniquement en sin et cos de périodes < 2k, intervalle de définition, cette méthode travaille sur les périodes inférieures ET supérieures à l'intervalle de définition 2k ! On peut donc commencer à envisager des extrapolations possibles.
: Il faut balayer toutes les valeurs pour trouver le spectre. Une méthode déjà présentée dans un Laboratoire de Patrick Bréjon, désormais disparu permet d'accéder directement à ce spectre selon les valeurs décroissantes de n , croissantes de omega
=== Autre approche : harmonique double de pulsations w et hw ===
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