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« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions

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Balise : Annulation
Ligne 8 :
}}
 
== Problème 1 (simple) ==
 
(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
Ligne 18 :
Le but du problème est de trouver <math>\alpha</math> pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.
 
[[Fichier:Optimisation aire triangle.png|600pxthumb|center|upright=2]]
 
{{Solution
| contenu =
Il faut exprimer l'aire de BCD en fonction de <math>\alpha</math>. Pour cela, on fait apparaître un point H, projeté orthogonal de C sur [BD). [CH] est donc une hauteur de BCD et :<br />
:<math>\sin(\alpha) = \frac{CH}{CA}\ = CH</math> (car CA, rayon du cercle, vaut 1)
 
Et donc l'aire <math>\mathcal{ A}</math> du triangle vaut :<br />
:<math> \frac{BD \times CH}{2}\ = \frac{5 \times \sin(\alpha)}{2}\ </math>.
 
L'aire est donc maximale quand le sinus est maximal, c'est-à-dire pour <math>\alpha = \frac{\pi}{2}\ pi2</math>.
 
<u>Remarque :</u> On a alors <math> \mathcal{ A} = \frac{5}{2} frac52</math>.}}
 
== Problème 2 ==
<math>[AB]</math> est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
 
C est un point de ce cercle et D un point tel que <math>BD=5</math> et <math>(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac\pi6</math>.
(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
 
C'est un point de ce cercle et D un point tel que BD = 5 et <math>(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac{\pi}{6}</math>.
 
On note <math>\alpha</math> l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})</math> et <math>\beta</math> l'angle <math>(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})</math>
 
Le but du problème est de trouver <math>\beta</math> pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.
 
[[Fichier:Optimisation aire triangle2.png|600pxthumb|center|upright=2]]
 
nbNB : On peut faire ce problème sans fixer <math>\gamma</math> (comme sur la figure), mais c’est plus difficile.
 
On prend donc <math>\gamma=\frac{\pi}{6}pi6</math> pour fixer les idées.
 
'''1.''' #Donner la relation entre <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>.
#Exprimer BC en fonction de <math>\alpha</math>
 
'''2.''' #Exprimer BCla hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta</math> et <math>\alpha</math>.
#Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta</math> seul.
 
'''3.''' Exprimer#Dériver la hauteurfonction h dupar trianglerapport ABC issue de C en fonction deà <math>\beta</math> et <math>\alpha</math>.
#Simplifier cette dérivée.
 
'''4.'''#Dans Exprimerquel la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction deintervalle <math>\beta</math> seul.varie-t-il ?
#Dresser le tableau de variations de <math>h</math> et conclure.
 
{{Solution|contenu=
'''5.''' Dériver la fonction h par rapport à <math>\beta</math>.
Dans le triangle ABC, on a :
 
:<math>\alpha+2\left(\beta+\frac\pi6\right)=\pi</math>.
'''6.''' Simplifier cette dérivée.
De plus, <math>BC=2\sin\frac\alpha2</math>.
 
'''7.''' Dans quel intervalle <math>\beta</math> varie-t-il ?
 
'''8.''' Dresser le tableau de variations de h et conclure.
 
{{Solution
| contenu =
Dans le triangle ABC on a :
 
:<math>\alpha+2(\beta+\frac{\pi}{6})=\pi</math>
 
De plus, <math>BC = 2\sin(\frac{\alpha}{2})</math>
 
Soit h la hauteur du triangle ABC issue de C, on a alors :
 
:<math>h=2\sin(\beta)sin(\frac{\alpha}{2})</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{2}-(\gamma+\beta))</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)cos(\frac{\pi}{6}+\beta)</math>
 
Soit <math>h</math> la hauteur du triangle ABC issue de C ; on a alors :
:<math>\begin{align}h&=2\sin\beta\sin\frac\alpha2\\
&=2\sin\beta\sin\left(\frac\pi2-(\gamma+\beta)\right)\\
&=2\sin(\beta)cos(\frac\pi6+\beta).\end{align}</math>
 
Il s'agit à présent d'étudier la fonction <math>h</math>.
 
Dérivons <math>h</math>-la par rapport à <math>\beta</math> :
:<math>h'(\beta)=2\cos\beta\cos\left(\frac\pi6+\beta\right)-2\sin\beta\sin\left(\frac\pi6+\beta\right)</math>.
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\frac{\pi}{6}+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{6}+\beta)</math>
 
D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)</math>
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(2\beta+\frac{\pi}{6})</math>
 
<math>\beta+\frac{\pi}{6}</math> varie dans <math>]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
 
D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math>,
:<math>h'(\beta)=2\cos\left(2\beta+\frac\pi6\right)</math>
:<math>\beta+\frac\pi6</math> varie dans <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
donc <math>\beta</math> varie dans
:<math>\left]-\frac\pi2-\frac\pi6,\frac\pi2-\frac\pi6\right]=\left]-\frac{2\pi}3,\frac\pi3\right]</math>.
 
:Finalement, <math>]-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6},beta+\frac{\pi}{2}-pi6</math> varie dans <math>\frac{\pi}{6}]=left]-\frac{27\pi}{3}6,\frac{5\pi}{3}6\right]</math>.
 
finalement <math>2\beta+\frac{\pi}{6}</math> varie dans <math>]-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]</math>.
 
Son cosinus s'annule donc pour :
:<math>2\beta+\frac\pi6=\pm\frac\pi2</math>,
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}</math>
 
ou
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}</math>
 
c'est-à-dire :
:<math>\beta=\frac\pi6</math> ou <math>-\frac\pi3</math>.
 
:<math>\beta=\frac{\pi}{6}</math>
 
ou
 
:<math>\beta=-\frac{\pi}{3}</math>
 
}}
 
== Balistique ==
On se place dans un repère orthonormé <math>(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)</math>.
 
OnUn seprojectile placeest danslancé undu repèrepoint orthonorméorigine <math>(O0,0)</math> à une vitesse de <math>\|\overrightarrow{i} ,v\overrightarrow|=5 m.s^{j-1} </math>).
 
UnOn projectilenote est lancé du point origine: <math>\alpha=(0;0)</math>\overrightarrow à une vitesse de <math>||i,\overrightarrow{ v}||=5 m.s^{-1})</math>.
 
[[Fichier:Parabole balistique 1.png|thumb|center]]
On note : <math>\alpha =(\overrightarrow{i},\overrightarrow{v})</math>.
 
Le but du problème est de trouver <math>\alpha</math> pour que le projectile touche le sol le plus loin possible du point O.
[[Fichier:Parabole balistique 1.png|600px|center]]
 
Le but du problème est de trouver <math>\alpha</math> pour que le projetile touche le sol le plus loin possible du point O.
 
Les lois de la physique donnent en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :
:<math>y=x\tan\alpha-\frac{x^2}{5\cos^2\alpha}</math>.
#Calculer l'abscisse <math>c</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
#Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)</math>
#En déduire le tableau de variations de <math>c(\alpha)</math>.
#Conclure.
{{Solution|contenu=
#Le projectile touche le sol au point de coordonnées <math>(x,0)</math> ; il faut résoudre l'équation <math>x\tan\alpha-\frac{x^2}{5\cos^2\alpha}=0</math>.
#:On obtient les solutions <math>x_0=0</math> et <math>x_1=5\cos^2\alpha\tan\alpha</math>.
 
:Donc <math>yc=5\tan(cos^2\alpha)x-\frac{x^2}{5 (\cos tan\alpha)^2}</math>.
 
'''1.'''Dans Calculerla l'abscisse <math>c</math>suite du pointproblème, deon chute du projectile en fonction deconsidérera <math>\alpha\in\left[0,\frac\pi2\right[</math>.
 
'''2.''' Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)=5\times 2(-\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha+5\cos^2\alpha\times\frac1{\cos^2\alpha}}=-10\sin^2\alpha+5</math> .
 
'''3.''' EnOn déduirerésout le<math> tableauc'( de\alpha variations) de= 0 </math>c(, on obtient <math>\sin^2\alpha)=\frac12</math> donc <math>\alpha=\frac\pi4</math>.
 
'''4.''' Conclure.
 
{{Solution| contenu =
'''1.''' Le projectile touche le sol au point de coordonnées (x;0), il faut résoudre l'équation <math> \tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5 (\cos \alpha)^2} = 0 </math>.
 
On obtient les solutions <math> x_0 = 0 </math> et <math> x_1 = 5 (\cos \alpha)^2 \tan \alpha </math>.
 
Donc <math> c = 5 (\cos \alpha)^2 \tan \alpha </math>.
 
Dans la suite du problème, on considérera <math>\alpha \in [0, \frac{ \pi}{2} [ </math>.
 
'''2.''' <math>c'(\alpha)\ = 5 \times 2 ( - \sin \alpha) \ cos \alpha \tan \alpha + 5 ( \cos \alpha )^2 \times \frac{1}{ ( \cos \alpha )^2}</math>
<math> = - 10 ( \sin \alpha )^2 + 5 </math>.
 
'''3.''' On résout <math> c'( \alpha ) = 0 </math>, on obtient <math> ( \sin \alpha )^2 = \frac {1}{2} </math> donc <math> \alpha = \frac{ \pi }{4}</math>.
 
[[File:Tableau variations balistique.png|thumb|left|600px]]
 
 
'''4.''' Donc le projectile touchera le sol le plus loin pour <math> \alpha = \frac{ \pi }{4}</math> donc a une distance de {{unité|2.5|mètres}} de son origine.
 
[[File:Tableau variations balistique.png|thumb|left|thumb]]
 
'''4.''' Donc le projectile touchera le sol le plus loin pour <math>\alpha=\frac\pi4</math> donc à une distance de {{unité|2.5|mètres}} de son origine.
}}
 
== Les anneaux ==
On considère un gymnaste aux anneaux. On note :
 
*A et A' les points de fixation des cordes ;
On considère un gymnaste aux anneaux.
*D et D' les épaules du gymnaste ;
 
*E et E' ses mains ;
A et A' sont les points de fixation des cordes,
*<math>\beta</math> l'angle entre les cordes et la verticale ;
 
*<math>\alpha</math> l'angle entre la ligne d'épaules et l'horizontale ;
D et D' les épaules du gymnaste, E et E' ses mains.
*g l'intensité de la pesanteur, m la masse du gymnaste ;
 
*T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés ;
On note <math>\beta</math> l'angle entre les cordes et la verticale,
*L la longueur des cordes (anneaux compris) et r la longueur des bras.
 
<math>\alpha</math> l'angle entre la ligne d'épaules et l'horizontale.
 
On note g l'intensité de la pesanteur, m la masse du gymnaste,
 
T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés,
 
L la longueur des cordes (anneaux compris) et r la longueur des bras.
 
 
[[Fichier:Gymnastic rings.png|600px|center]]
 
Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce
 
sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle <math>\alpha</math>.
 
'''1.''' Exprimer T en fonction de m, g et <math>\beta</math>
 
'''2.''' En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer <math>\beta</math> en fonction de <math>\alpha</math>, r et L.
 
'''3.''' En utilisant la formule : <math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}</math>, exprimer T en fonction de <math>\alpha</math>
 
[[Fichier:Gymnastic rings.png|thumb|center|upright=2]]
'''4.''' Tracer la fonction <math>T(\alpha)</math> et dresser son tableau de variation.
 
Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle <math>\alpha</math>.
{{Solution}}
#Exprimer T en fonction de m, g et <math>\beta</math>
#En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer <math>\beta</math> en fonction de <math>\alpha</math>, r et L.
#En utilisant la formule : <math>\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}</math>, exprimer T en fonction de <math>\alpha</math>
#Tracer la fonction <math>T(\alpha)</math> et dresser son tableau de variation.
{{Solution|contenu=}}
 
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