« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Espace complet : Corollaire : théorème d'interversion des limites |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\b(a fortiori(''')?)(?=[\s,.)]|$) +''\1'') |
||
Ligne 36 :
#Immédiat en utilisant que si <math>(x_{n_k})_k</math> est une sous-suite de <math>(x_n)_n</math> alors <math>n_k\ge k</math>.
#Une suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle donc de la seconde. Soit (dans un espace métrique) <math>(x_n)</math> une suite de Cauchy admettant une valeur d'adhérence <math>a</math>. Démontrons que <math>x_n\to a</math>. Pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe (puisque la suite est de Cauchy) un entier <math>N</math> tel que <math>\forall p,q\ge N\quad d(x_p,x_q)<\varepsilon</math>, et il existe (puisque <math>a</math> est valeur d'adhérence) des <math>q\ge N</math> tels que <math>d(x_q,a)<\varepsilon</math>. Par inégalité triangulaire, on en déduit que <math>\forall p\ge N\quad d(x_p,a)<2\varepsilon</math>.
#L'application qui à toute suite bornée <math>(x_n)</math> associe <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{m\ge n}d(x_m,x_n)</math> est continue (et même [[w:application lipschitzienne|lipschitzienne]]) donc l'ensemble des suites de Cauchy (image réciproque du singleton fermé <math>\{0\}</math>) est un fermé.<br />Lorsque ''E'' est un espace vectoriel normé, l'addition vectorielle et le produit des vecteurs par un réel fixé sont [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|linéaires continues, donc uniformément continues]] et ''a fortiori'' Cauchy-continues (cf. point précédent).<br />Lorsque ''E'' est de plus une algèbre normée, la multiplication dans ''E'' est [[Application multilinéaire/Définitions#Définition|bilinéaire]] continue, donc lipschitzienne sur toute partie bornée et [[w:Fonction Cauchy-continue#Exemples et contre-exemples|par conséquent, Cauchy-continue]].
}}
| |||