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« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

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→‎Discriminant d’une équation du troisième degré : +2e expression du discriminant, plus commode pour le calculer
Ligne 445 :
Pour une équation du troisième degré, nous poserons donc la définition suivante :
{{Définition
| titre = Définition du discriminant d'uneun équationpolynôme du troisième degré
| contenu =
Soit l'équationle polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)= axaX^3 + bxbX^2 + cx cX+ d = 0 ~</math>▼
Dontdont les trois racines sont x<sub>1</submath>x_1, x<sub>2</sub>x_2, x<sub>3x_3</submath>.▼
 
Le discriminant Δ de cettece équationpolynôme peutest s'exprimerdéfini par :▼
▲:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
:<math> \Delta = a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2 ~</math>.▼
}}
 
{{Théorème▼
▲Dont les trois racines sont x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>.
| contenu=
Soit le polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)= axaX^3 + bxbX^2 + cx cX+ d = 0 ~</math>▼
dont les trois racines sont <math>x_1,x_2,x_3</math>.
 
On appelleraLe discriminant de l'équation,ce généralementpolynôme notépeut Δ, l’expressions'exprimer suivantepar :
:<math> \Delta =-aP'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)</math>.
 
}}
▲:<math> \Delta = a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2 ~</math>
{{Démonstration déroulante|contenu=
En dérivant
:<math>P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)</math>,
on obtient :
:<math>P'(X)=a\left[(X-x_2)(X-x_3)+(X-x_1)(X-x_3)+(X-x_1)(X-x_2)\right]</math>,
dont on déduit :
:<math>\begin{align}P'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)&=\left[a(x_1-x_2)(x_1-x_3)\right]\left[a(x_2-x_1)(x_2-x_3)\right]\left[a(x_3-x_1)(x_3-x_2)\right]\\
&=-a^3(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2\\
&=-\frac\Delta a.
\end{align}</math>
}}
 
NousLes observons quedeux l’expressionexpressions donnant le discriminant estde P unsont polynômedes symétriquepolynômes symétriques par rapport aux racines de l'équationP. Nous en déduisons que le discriminant doit pouvoir s'exprimer simplement par rapport aux coefficients de l'équationP. ▼
 
Nous avons en effet le théorèmecorollaire suivant :▼
▲Nous observons que l’expression donnant le discriminant est un polynôme symétrique par rapport aux racines de l'équation. Nous en déduisons que le discriminant doit pouvoir s'exprimer simplement par rapport aux coefficients de l'équation.
{{Corollaire
 
▲Nous avons en effet le théorème suivant :
▲{{Théorème
| contenu=
Soit l’équationle polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)= axaX^3 + bxbX^2 + cx cX+ d = 0 ~</math>.▼
 
Le discriminant de ce polynôme peut s'exprimer par :
▲:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d ~</math>.▼
 
▲Le discriminant de cette équation peut s'exprimer par :
 
▲:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d ~</math>
}}
{{démonstrationDémonstration déroulante▼
 
▲{{démonstration déroulante
| contenu =
La démonstration de ce théorèmecorollaire est assez longue, mais ne présente pas de difficultés. Nous l'avons donc proposée dans l'exercice 2-2.
}}
 
OnLa peutprincipale sepropriété demander à quoi peut bien servir ledu discriminant d'uneun équationpolynôme du troisième degré. La principale propriété est exprimée par ce qui suit :▼
 
▲On peut se demander à quoi peut bien servir le discriminant d'une équation du troisième degré. La principale propriété est exprimée par ce qui suit :
{{Propriété
| contenu =
uneSoit équation<math>P(X)</math> un polynôme de degré 3 à coefficients réels et Δ son discriminant. L'équation▼
Soit :
:<math>P(x)=0</math>
 
possède :
▲:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
* si Δ > 0, l'équation possède trois racines réelles distinctes.▼
 
* si Δ = 0, l'équation possède une racine double ou triple.▼
▲une équation à coefficients réels et Δ son discriminant.
* si Δ < 0, l'équation possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.▼
 
▲* si Δ > 0, l'équation possède trois racines réelles distinctes.
▲* si Δ = 0, l'équation possède une racine double ou triple.
▲* si Δ < 0, l'équation possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
}}
 
{{démonstration déroulante
|contenu=
 
Supposons que l'équation :
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
ait pour racineracines x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>.
 
Nous raisonnerons sur l’expression de Δ suivante :
Ligne 568 ⟶ 575 :
 
}}
 
<br />
 
== Résultant de deux équations ==
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