« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Discriminant d’une équation du troisième degré : +2e expression du discriminant, plus commode pour le calculer |
→Somme et produit de racines : preuve rectifiée (cf. pdd) mais incomplète |
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== Somme et produit de racines ==
{{Définition
|titre = Définition d'un polynôme
|contenu={{Wikipédia|Polynôme en plusieurs indéterminées}}
On appelle monôme en trois indéterminées, une expression de la forme :
:<math>aX^kY^lZ^m</math>,
<math>X,Y,Z</math> étant des variables (ou indéterminées) et <math>k,l,m</math> des entiers naturels fixés (éventuellement nuls).
Dans ce paragraphe ainsi que dans le suivant, le terme « polynôme » devra être compris comme « polynôme en trois indéterminées ».
}}
Lors de l'étude des équations du second degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.
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| contenu=
Soit :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>
une équation du troisième degré dont les trois racines seront notées <math>x_1,x_2,x_3</math>.
Nous avons alors les trois relations simples liant les racines aux coefficients de l'équation :
* <math>x_1 + x_2 + x_3 = -\frac ba</math> ;
* <math>
* <math>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
L'équation peut s'écrire :
:<math> a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0</math>.
En développant, on obtient :
:<math> ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - a(x_1x_2x_3) =0</math>.
En identifiant les coefficients de cette dernière équation avec :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>,
on obtient les trois relations annoncées.
}}
Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.
{{Définition|titre=Définition d'une expression symétrique|contenu=
Une expression contenant des variables est dite symétrique par rapport à celles-ci si elle est inchangée par toutes les permutations de ces variables.
}}
{{Exemple|titre=Exemples de polynômes symétriques|contenu=
Les polynômes suivants sont symétriques en les variables <math>X_1,X_2,X_3</math> :
* <math>X_1^3X_2 +X_1^3X_3 +X_2^3X_3 +X_1X_2^3 +X_1X_3^3 +X_2X_3^3</math> ;
* <math>X_1^5X_2^5X_3^5 -X_1^3X_2^3X_3^3</math> ;
* les sommes de Newton <math>p_k:=X_1^k+X_2^k+X_3^k</math>, pour <math>k\in\N</math>.
}}
Une autre définition :
{{Définition|titre=Définition des polynômes symétriques élémentaires en trois indéterminées|contenu=
Les expressions :
* <math> \sigma_1 =X_1 +X_2 +X_3</math> ;
* <math> \sigma_2 =X_1X_2 +X_1X_3+X_2X_3</math> ;
* <math> \sigma_3 =X_1X_2X_3</math>
sont appelées polynômes symétriques élémentaires en les trois indéterminées <math>X_1,X_2,X_3</math>.
}}
Nous avons alors la proposition suivante :
{{Proposition|titre=Proposition (identités de Newton)
| contenu={{Wikipédia|Identités de Newton}}
Les sommes de Newton <math>p_k=X_1^k+X_2^k+X_3^k</math> s'expriment comme fonctions (polynomiales et à coefficients entiers) des trois polynômes symétriques élémentaires en <math>X_1,X_2,X_3</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Nous avons :
:<math>p_0=X_1^0+X_2^0+X_3^0=3</math> ;
:<math>p_1=X_1+X_2+X_3=\sigma_1</math> ;
:<math>p_2=X_1^2+X_2^2+X_3^2=(X_1+X_2+X_3)^2-2(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>.
Nous allons ensuite établir une relation de récurrence d'ordre 3 pour pouvoir calculer les ''p<sub>k</sub>'' suivants.
Pour cela, considérons le polynôme <math>f</math> (en quatre variables : <math>X_1,X_2,X_3</math> et <math>X</math>) ainsi défini :
:<math> f(X) = (X-X_1)(X-X_2)(X-X_3)=X^3-\sigma_1X^2+\sigma_2X-\sigma_3</math>.
Nous avons alors :
:<math> f(X_1)=f(X_2)=f(X_3)=f(X_4)=0</math>.
Nous en déduisons, pour tout <math>k\ge2</math> :
:<math>\begin{cases}
\end{cases}</math>
Par addition membre à membre, nous obtenons :
:<math>p_{k+1}-\sigma_1p_k+\sigma_2p_{k-1}-\sigma_3p_{k-2}=0</math>
qui est bien une relation de récurrence d'ordre 3.
En résumé, nous retiendrons :
{{Encadre
|
:<math>
:<math>p_1=\sigma_1</math> ;
:<math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math> ;
:<math>p_{k+1}=\sigma_1p_k-\sigma_2p_{k-1}+\sigma_3p_{k-2}</math> pour tout entier <math>k\ge2</math>.
}}
Nous voyons que l’on peut ainsi, par récurrence, exprimer tous les'' p<sub>k</sub>'' comme des polynômes à coefficients entiers en <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math>.
}}
Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :
{{Théorème
| contenu={{Wikipédia|Théorème fondamental des fonctions symétriques}}
Tout polynôme symétrique en trois indéterminées (à coefficients entiers) peut s'exprimer en fonction (polynomiale et à coefficients entiers) des trois polynômes symétriques élémentaires en ces indéterminées.
}}
{{démonstration déroulante
|contenu=
Commençons par poser, pour tout triplet <math>(k,l,m)</math> d'entiers,
:<math>S_{k,l,m}=</math> la somme de tous les monômes de la forme <math>X_r^kX_s^lX_t^m</math> avec <math>\{r,s,t\}=\{1,2,3\}</math>, chaque monôme étant pris une seule fois (même lorsque deux des trois entiers <math>k,l,m</math> sont égaux : par exemple si <math>l=k</math>, le monôme <math>X_1^kX_2^lX_3^m=X_2^kX_1^lX_3^m</math> n'est compté qu'une fois).
Autrement dit, <math>S_{k,l,m}</math> ne dépend pas de l'ordre des trois indices <math>k,l,m</math> et
* <math>S_{0,0,0}=1</math> ;
* si <math>k>0</math> :
** <math>S_{k,0,0}=p_k</math> (la <math>k</math>-ième somme de Newton),
** <math>S_{k,k,0}=X_1^kX_2^k+X_1^kX_3^k+X_2^kX_3^k</math>,
** <math> S_{k,k,k} =X_1^kX_2^kX_3^k=\sigma_1^k</math> ;
* si <math>k,l>0</math> et <math>k\ne l</math> :
** <math>S_{k,l,0}=X_1^kX_2^l+X_2^kX_1^l+X_1^kX_3^l+X_3^kX_1^l+X_2^kX_3^l+X_3^kX_2^l</math>,
** <math>S_{k,k,l}=X_1^kX_2^kX_3^l+X_1^kX_3^kX_2^l+X_2^kX_3^kX_1^l</math>,
* si <math>k,l,m>0</math> et distincts :
**<math>S_{k,l,m}=(X_1^kX_2^l+X_2^kX_1^l)X_3^m+(X_1^kX_3^l+X_3^kX_1^l)X_2^m+(X_2^kX_3^l+X_3^kX_2^l)X_1^m</math>.
Tout polynôme symétrique à coefficients entiers s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes ''S<sub>k,l,m</sub>''. Il nous suffit donc de montrer que ces derniers sont des polynômes à coefficients entiers en σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, σ<sub>3</sub>.
'''Calcul des
Nous
<math>S_{0,0,0}=1</math> et pour <math>k>0</math>, <math>S_{k,0,0}=p_k</math>, que l'on calcule grâce à la proposition précédente.
'''Calcul des <math>S_{k,l,0}</math> pour <math>k,l>0</math>'''
*Si <math>k\ne l</math>, nous voyons que :
*::<math>(X_1^k+X_2^k+X_3^k)(X_1^l+X_2^l+X_3^l)=(X_1^{k+l}+X_2^{k+l}+X_3^{k+l})+S_{k,l,0}</math>,
*:que l’on peut écrire :
{{Encadre
| contenu =
Si <math>k,l>0</math> et <math>l\ne k</math>,
:<math> S_{k,l,0} =
}}
*Calcul des <math>S_{k,k,0}</math> pour <math>k>0</math> :
{{...}}
'''Calcul des
En posant <math>n=\min(k,l,m)</math> :
:<math>S_{k,l,m}=\sigma_3^nS_{k-n,l-n,m-n}</math>,
et <math>S_{k-n,l-n,m-n}</math> est (après permutation éventuelle des trois indices, ce qui ne change pas sa définition) de la forme <math>S_{u,v,0}</math>.
(Dans le cas particulier où <math>k,l,m</math> sont distincts, on peut utiliser la variante suivante : <math> S_{k,l,m} =p_kp_lp_m-p_{k+l+m}-S_{k+l,m,0}-S_{k+m,l,0}-S_{l+m,k,0}</math>.)
}}
Comme les polynômes symétriques élémentaires des racines d'un polynôme s'expriment simplement en fonction des coefficients de ce polynôme, nous déduisons qu'il en est de même pour ''tous'' les polynômes symétriques des racines. Une application de ceci sera le calcul du discriminant du polynôme.
== Discriminant d’une équation du troisième degré ==
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