« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Somme et produit de racines : preuve rectifiée (cf. pdd) mais incomplète |
→Recherche d'une racine évidente (12) : remplacé "ne divise pas" par "est premier avec" + lien interne + le lemme de Gauss n'est pas de niveau 12 |
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=== Recherche d'une racine évidente
Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer ''x'' par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :
{{Propriété
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{{démonstration déroulante
| contenu =
En posant <math>x=p/q</math>, on a :
:<math>\frac{ap^3}{q^3} + \frac{bp^2}{q^2} + \frac{cp}
On obtient alors
:<math>p(ap^2 + bqp + cq^2) = -dq^3
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss (arithmétique)]], on en déduit :
:<math>p</math> est premier avec <math>-q^3</math> et divise <math>-dq^3</math>, donc il divise <math>d</math>.
De même :
:<math>ap^3 = q(-dq^2 -bp^2 -cqp)
:<math>q</math>
}}
{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
:<math> x^3 - x^2 + x - 6 = 0
▲Nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs de 6.
Pour l’équation :
▲:<math> 2x^3 + 3x^2 + 13x + 6 = 0 ~</math>
:<math> \
}}
▲Nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :
▲:<math> \frac{1}{2} \qquad \frac{-1}{2} \qquad \frac{3}{2} \qquad \frac{-3}{2} \qquad ~</math>
=== Factorisation du premier membre (12) ===
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