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}}
Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. UneNous applicationverrons immédiate deensuite ce quique précèdel’on seraappelle le calculrésultant dude discriminantdeux despolynômes. équationsUne duapplication troisièmeimmédiate degré.sera Nousla verronsdéfinition ensuiteet cele quecalcul l’ondu appellediscriminant ledes résultantéquations dedu deuxtroisième équationsdegré. Cette notion étantsera aussi utile à certainesla démonstrationsdémonstration de certains théorèmes intervenants dans lesdes chapitres suivants.
== Définition d’une équation du troisième degré (12) ==
Comme les polynômes symétriques élémentaires des racines d'un polynôme s'expriment simplement en fonction des coefficients de ce polynôme, nous déduisons qu'il en est de même pour ''tous'' les polynômes symétriques des racines. Une application de ceci sera le calcul du discriminant du polynôme.
== Résultant de deux polynômes ==
== Discriminant d’une équation du troisième degré ==
Cette notion est d'un niveau nettement supérieur à celui de cette leçon, et ne sera abordée sérieusement qu'au [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 16#Mathématiques|niveau 16]], dans la leçon « [[Résultant]] ».
Pour une équation de degré n, le discriminant peut se définir en fonction des racines x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,... x<sub>n</sub> par la formule :
Ces résultants nous serviront à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Donnons-en d'abord une « définition » intuitive : le résultant <math>\operatorname{Res}(P,Q)</math> de deux polynômes non nuls <math>P,Q\in\C[X]</math> est une « expression minimale » qui :
:<math>\Delta=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(x_i-x_j)^2} ~</math>
*est égale à zéro si et seulement si <math>P</math> et <math>Q</math> ont une racine commune,
*est obtenue en « éliminant <math>x</math> entre les deux équations » <math>P(x)=0</math> et <math>Q(x)=0</math>,
ces deux propositions étant équivalentes.
Mais pour établir des théorèmes sur cette notion, il est indispensable d'en donner une vraie définition. On peut prendre par exemple celle-ci :
Pour une équation du troisième degré, nous poserons donc la définition suivante :
{{Définition
| titre = Définition du discriminant d'un polynôme du troisième degré
| contenu =
Le '''résultant <math>\operatorname{Res}(Q,P)</math> d'un ''[[Ensemble (mathématiques)/Produit|couple]]'' de polynômes''' non nuls <math>Q,P\in\C[X]</math> est défini par :
Soit le polynôme de degré 3 :
:<math>\operatorname{Res}\left(\alpha\prod_{j=1}^m(X-y_j),P(X)\right)=\alpha^{\deg P}\prod_{j=1}^mP(y_j)</math>
:<math>P(X)= aX^3 + bX^2 + cX+ d</math>
dont les trois racines sont(si <math>x_1,x_2,x_3\alpha\ne0</math>).
}}
{{Exemple|contenu=
Le discriminant Δ de ce polynôme est défini par :
:<math>\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0)=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+a_2\alpha^{n-2}\beta-\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>
:<math> \Delta = a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2</math>.
(si <math>\alpha\ne0</math>).
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soient :
*<math>Q=\alpha X+\beta=\alpha\left(X-y_1\right)</math>, avec <math>y_1=-\frac\beta\alpha</math> ;
*<math>P=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math>, de degré <math>n</math>.
Alors, <math>\operatorname{Res}(Q,P)</math> est égal à
:<math>\alpha^nP\left(y_1\right)=\alpha^n\left(a_n\left(-\frac\beta\alpha\right)^n+a_{n-1}\left(-\frac\beta\alpha\right)^{n-1}+\dots+a_1\left(-\frac\beta\alpha\right)+a_0\right)</math>,
donc à l'expression annoncée.
}}
}}
La proposition suivante sera utilisée dans la prochaine section, dans le cas <math>n=3</math> et <math>Q=P'</math>.
{{Théorème
| contenu=
Soit le polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)= aX^3 + bX^2 + cX+ d</math>
dont les trois racines sont <math>x_1,x_2,x_3</math>.
{{Proposition|contenu=
Le discriminant de ce polynôme peut s'exprimer par :
Si <math>Q=pX^2+qX+r</math> est de degré 2 et de racines <math>y_1,y_2</math> et si <math>P=aX^3+bX^2+cX+d</math> est de degré <math>n</math> (<math>\le3</math>), alors <math>\operatorname{Res}(Q,P)</math> est à la fois égal à <math>p^nP(y_1)P(y_2)</math> et à
:<math> \Delta =-aP'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)</math>.
:<math>\begin{align}&ap^{n-3}\left[ar^3-br^2q+c(rq^2-2r^2p)+d(3rqp-q^3)\right]\\
&+bp^{n-2}\left[br^2-crq+d(q^2-2rp)\right]\\
&+cp^{n-1}\left[cr-dq\right]\\
&+p^nd^2.\end{align}</math>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
La première égalité est immédiate. La démonstration de la seconde est assez longue mais ne présente pas de difficultés. Nous l'avons donc proposée dans l'exercice 2-2.
En dérivant
}}
:<math>P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)</math>,
on obtient :
== Discriminant d’un polynôme de degré 3 ==
:<math>P'(X)=a\left[(X-x_2)(X-x_3)+(X-x_1)(X-x_3)+(X-x_1)(X-x_2)\right]</math>,
Le discriminant <math>\Delta_P</math> d'un polynôme <math>P</math> de degré <math>n>0</math> et de coefficient dominant <math>a</math> est défini par :
dont on déduit :
:<math>\Delta_P=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}a\operatorname{Res}(P',P)</math>
:<math>\begin{align}P'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)&=\left[a(x_1-x_2)(x_1-x_3)\right]\left[a(x_2-x_1)(x_2-x_3)\right]\left[a(x_3-x_1)(x_3-x_2)\right]\\
(qui est nul si et seulement si <math>P</math> et <math>P'</math> ont une racine commune, c'est-à-dire si <math>P</math> a une racine multiple).
&=-a^3(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2\\
&=-\frac\Delta a.
Pour un polynôme de degré 3, la proposition précédente nous donne donc deux expressions du discriminant :
{{Définition
| contenu =
Le discriminant <math>\Delta_P</math> d'un polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)=aX^3+bX^2+cX+d</math>
est défini par :
:<math>\Delta_P=-\frac1a\operatorname{Res}(P',P)=-27a^2P(y_1)P(y_2)</math>
où <math>y_1,y_2</math> sont les deux racines du polynôme dérivé <math>P'(X)=3aX^2+2bX+c</math>.
}}
{{Corollaire|contenu=
Le discriminant d'un polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)=aX^3+bX^2+cX+d</math>
peut s'exprimer par :
:<math>\Delta_P=b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
En appliquant la proposition précédente à <math>(p,q,r)=(3a,2b,c)</math>, on obtient :
:<math>\begin{align}\Delta_P&=-\frac1a\operatorname{Res}(P',P)\\
&=-\left[ac^3-2b^2c^2+c(4b^2c-6ac^2)+d(18abc-8b^3)\right]\\
&\;-3b\left[bc^2-2bc^2+d(4b^2-6ac)\right]\\
&\;-9ac\left[c^2-2bd\right]-27a^2d^2\\
&=\left[5ac^3-2b^2c^2-18abcd+8b^3d\right]\\
&\;+\left[3b^2c^2-12b^3d+18abcd\right]\\
&\;+\left[-9ac^3+18abcd\right]-27a^2d^2\\
&=b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d.
\end{align}</math>
}}
Ainsi, <math>\frac{\Delta_P}{a^4}</math> est un polynôme en <math>-\frac ba=\sigma_1</math>, <math>\frac ca=\sigma_2</math> et <math>-\frac da=\sigma_3</math>, donc un polynôme symétrique en les trois racines de <math>P</math>, qui doit s'annuler si deux de ces racines sont égales. Sa forme est remarquable :
Les deux expressions donnant le discriminant de P sont des polynômes symétriques par rapport aux racines de P. Nous en déduisons que le discriminant doit pouvoir s'exprimer simplement par rapport aux coefficients de P.
{{Théorème
Nous avons en effet le corollaire suivant :
{{Corollaire
| contenu=
Soit le polynôme de degré 3 :
:<math>P(X)= aX^3 + bX^2 + cX+ d</math>.
et <math>x_1,x_2,x_3</math> les trois racines de <math>P</math>.
Alors,
Le discriminant de ce polynôme peut s'exprimer par :
:<math> \Delta Delta_P= ba^2c4(x_1-x_2)^2 + 18abcd (x_1- 27a^2dx_3)^2 (x_2-4acx_3)^3 - 4b^3d2</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On pourrait déduire cette égalité du corollaire précédent, mais il est bien moins pénible de partir directement de la définition.
| contenu =
:<math>P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)</math> donc
La démonstration de ce corollaire est assez longue, mais ne présente pas de difficultés. Nous l'avons donc proposée dans l'exercice 2-2.
:<math>P'(X)=a(X-x_2)(X-x_3)+a(X-x_1)(X-x_3)+a(X-x_1)(X-x_2)</math>.
Mais <math>P'</math> s'exprime aussi en fonction de son coefficient dominant <math>3a</math> et de ses racines <math>y_1,y_2</math> :
:<math>P'(X)=3a(X-y_1)(X-y_2)</math>.
Par conséquent,
:<math>\begin{align}\Delta_P&=-27a^2P(y_1)P(y_2)\\
&=-27a^2\times a(y_1-x_1)(y_1-x_2)(y_1-x_3)\times a(y_2-x_1)(y_2-x_2)(y_2-x_3)\\
&=-a\times3a(x_1-y_1)(x_1-y_2)\times3a(x_2-y_1)(x_2-y_2)\times3a(x_3-y_1)(x_3-y_2)\\
&=-aP'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)\\
&=-a\times a(x_1-x_2)(x_1-x_3)\times a(x_2-x_1)(x_2-x_3)\times a(x_3-x_1)(x_3-x_2)\\
&=a^4(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)(x_2-x_3)\\
&=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.
\end{align}</math>
}}
LaOn principaleen déduit une propriété importante du discriminant d'un polynôme du troisième degré est exprimée par ce qui suit :
{{Propriété
| contenu =
Soit <math>P(X)</math> un polynôme de degré 3 à coefficients réels et Δ son discriminant. L'équation
:<math>P(x)=0</math>
possède :
* si Δ > 0, trois racines réelles distinctes.
* si Δ = 0, une racine double ou triple.
* si Δ < 0, une racine réelle et deux racines complexes conjuguées non réelles.
}}
{{démonstration déroulante
|contenu=
Soient <math>x_1,x_2,x_3</math> les racines de <math>P</math> et <math>a</math> son coefficient dominant.
Supposons que l'équation :
Alors,
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
:<math>\Delta=\left(a^2(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)\right)^2</math>.
Si <math>x_1,x_2,x_3</math> sont trois nombres réels alors Δ est le carré d'un nombre réel. C'est donc un nombre réel positif ou nul. De plus, il est nul si et seulement si deux des trois racines sont égales.
ait pour racines x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>.
Si deux des nombres <math>x_1,x_2,x_3</math> sont des nombres complexes conjugués non réels, <math>z=r+\mathrm is,\overline z=r+\mathrm is</math> (<math>r\in\R,s\in\R^*</math>) et le troisième est un réel <math>t</math>, alors
Nous raisonnerons sur l’expression de Δ suivante :
:<math>\begin{align}\Delta&=\left(a^2(z-\overline z)(z-t)(\overline z-t)\right)^2\\
&=\left(a^2(2\mathrm is)|z-t|^2\right)^2\\
:<math> \Delta = a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2 ~</math>
&=-\left(2a^2s|z-t|^2\right)^2
Nous distinguerons trois cas :
'''Premier cas : x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> sont trois nombres réels distincts.'''
Δ s'écrit :
:<math> \Delta = \left(a^2(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)\right)^2 ~</math>
Nous voyons clairement que Δ est le carré d'un nombre réel. C'est donc un nombre réel positif.
'''Deuxième cas : Au moins deux des nombres réels x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> sont confondus.'''
Dans ce cas, on a :
-Soit x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> =0.
-Soit x<sub>1</sub> - x<sub>3</sub> =0.
-Soit x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> =0.
Ce qui entraine :
:<math> \Delta = a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2 = 0 ~</math>
'''Troisième cas : deux des nombres x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> sont des nombres complexes conjugués.'''
Pour raison de symétrie et pour fixer les idées, on peut suposer que x<sub>1</sub> et x<sub>2</sub> sont des nombres complexes conjugués et que x<sub>3</sub> est réel.
On peut alors poser :
<math>\begin{cases}
x_1 = r + is \\
x_2 = r - is \\
x_3 = t
\end{cases}</math>
r, s, t étant des nombres réels.
Recalculons alors Δ dans ce cas :
:<math>\begin{align}
\Delta&= a^4(x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2\\
&= a^4(r + is - r + is)^2(r + is - t)^2(r - is - t)^2\\
&= a^4(2is)^2[(r - t + is)(r - t - is)]^2\\
&= -4a^4s^2[(r - t)^2 - (is)^2]^2\\
&= -\left(2a^2s[(r - t)^2 + s^2]\right)^2\\
\end{align}</math>
est l'opposé du carré d'un nombre réel non nul. C'est donc un réel strictement négatif.
Comme nous avons distingué tous les cas possibles, nous en déduisons, inversement, les trois points annoncés.
Δ étant l'opposé du carré d'un nombre réel sera donc négatif.
Comme nous avons distingué tous les cas possibles, nous aurons inversement :
* si Δ > 0, l'équation possède trois racines réelles distinctes.
* si Δ = 0, l'équation possède une racine double ou triple.
* si Δ < 0, l'équation possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
}}
== Résultant de deux équations ==
{{Définition
| titre = Définition du résultant de deux équations
| contenu ={{Wikipédia|Résultant}}
Le résultant de deux équations par rapport à une variable ''x'' (ou inconnue ''x'') est une expression minimale qui :
*est égale à zéro si et seulement si les deux équations ont une solution commune (dans <math>\C</math>),
*est obtenue en éliminant ''x'' entre les deux équations,
ces deux propositions étant équivalentes.
}}
Dans la suite, nous allons donner les principaux résultants entre des équations de degré 1 à 3. Ces résultants nous serviront par la suite à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Commençons par le cas le plus simple :
{{Exemple|contenu=
Soit les deux équations :
:<math> ax + b = 0</math>
:<math> cx + d = 0</math>
avec <math>a\ne0</math>.
*Ces deux équations ont la même racine si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels, c'est-à-dire si :
*:<math>ad=bc</math>, ou encore : <math>ad - bc = 0 </math>.
*D'autre part, si l’on tire <math>x</math> de la première équation et qu’on le remplace dans la seconde, on obtient :
*:<math> c\frac{-b}a+ d = 0</math>, c'est-à-dire <math>ad - bc = 0</math>.
Dans les deux cas, on voit que le résultant R des deux équations est :
:<math> R = ad - bc</math>.
}}
Plus généralement :
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant 1-''n''
| contenu =
Le résultant <math>R_{1-n}</math> de deux équations :
:<math>ax+b=0</math>
:<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0</math>
avec <math>a\ne0</math> est :
:<math>R_{1-n}=a_0a^n-a_1a^{n-1}b+a_2a^{n-2}b^2-\dots+(-1)^na_nb^n</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si l’on tire <math>x</math> de la première équation et qu’on le remplace dans la seconde, on obtient :
:<math>a_n\left(\frac{-b}a\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{-b}a\right)^{n-1}+\dots+a_1\frac{-b}a+a_0=0</math>,
c'est-à-dire
:<math>a_0a^n-a_1a^{n-1}b+a_2a^{n-2}b^2-\dots+(-1)^na_nb^n=0</math>.
}}
{{Remarque|contenu=
Lorsque <math>a=0</math> et <math>a_n\ne0</math>, l'expression de <math>R_{1-n}</math> ci-dessus convient encore car dans ce cas :
*<math>R_{1-n}=(-1)^na_nb^n</math> ;
*les solutions de la seconde équation sont aussi solutions de la première si et seulement si <math>b=0</math>.
}}
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant 3-2
| contenu =
Le résultant <math>R_{3-2}</math> de deux équations :
:<math>a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
:<math>px^2+qx+r=0</math>
avec <math>p\ne0</math> est :
:<math>R_{3-2}=a_3^2r^3+a_0^2p^3+a_2^2r^2p+a_1^2rp^2+a_1a_3rq^2+a_0a_2q^2p+3a_0a_3rqp\dots</math>
:<math>\qquad\dots-a_0a_3q^3-2a_1a_3r^2p-2a_0a_2rp^2-a_2a_3r^2q-a_0a_1qp^2-a_1a_2rqp</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si
:<math>px^2=-qx-r</math>
alors
:<math>\begin{align}p^2x^3&=px\left(-qx-r\right)\\
&=q\left(qx+r\right)-prx\\
&=\left(q^2-pr\right)x+qr\end{align}</math>
donc
:<math>\begin{align}p^2\left(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\right)&=a_3\left(\left(q^2-pr\right)x+qr\right)-pa_2\left(qx+r\right)+p^2\left(a_1x+a_0\right)\\
&=x\left(a_3\left(q^2-pr\right)-pqa_2+p^2a_1\right)+a_3qr-pra_2+p^2a_0.\end{align}</math>
Par conséquent, le système
:<math>\begin{cases}a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0&=0\\px^2+qx+r&=0\end{cases}</math>
est équivalent à
:<math>\begin{cases}ax+b&=0\\px^2+qx+r&=0\end{cases}</math>
avec
:<math>a=a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2</math> et <math>b=a_3rq-a_2rp+a_0p^2</math>.
D'après le théorème précédent (appliqué à <math>n=2</math>) et la remarque, les deux équations ont donc une solution commune si et seulement si l'expression suivante est nulle :
:<math>\begin{align}\frac{ra^2-qab+pb^2}p
&=a\frac{ra-qb}p+b^2\\
&=\left(a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2\right)\left(-a_3r^2+a_1rp-a_0qp\right)+\left(a_3rq-a_2rp+a_0p^2\right)^2\\
&=pR_{3-2}\end{align}</math>
où <math>R_{3-2}</math> est l'expression annoncée.
}}
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Lorsque <math>p=0</math> et <math>a_3\ne0</math>, l'expression de <math>R_{3-2}</math> ci-dessus convient encore car dans ce cas :
*::<math>R_{3-2}=-a_3\left(a_0q^3-a_1rq^2+a_2r^2q-a_3r^3\right)</math>
*:et l'expression entre parenthèses n'est autre que le cas particulier <math>n=3</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
*Le résultant <math>R_{2-2}</math> de deux équations :
*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
*::<math>px^2+qx+r=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{3-2}</math>, puis en divisant par <math>p</math> :
*::<math>R_{2-2}=a_0^2p^2+r^2a_2^2+a_0a_2q^2+rpa_1^2-a_0a_1qp-rqa_1a_2-2a_0a_2rp</math>.
*:Sans surprise, il est symétrique en les coefficients des deux équations.
* De même, en remplaçant <math>a_2</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-2}</math> ci-dessus et en divisant par <math>p</math>, on retrouve (aux notations près) le cas particulier <math>n=2</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
}}
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