« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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mef + Substitution de Viète Balise : Annulation |
→Exercice 4-5 : +1 : méthode de Lagrange |
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Ligne 459 :
#<math>k=\frac p3,\;r=q,\;s=-k^3=-\frac{p^3}{27}</math>. On pose <math>w=y^3</math> et l'on résout donc <math>w^2+rw+s=0</math>. Soit <math>\delta</math> l'une des deux racines carrées de <math>r^2-4s=q^2+4\frac{p^3}{27}</math>. Les 2 solutions de l'équation en <math>w</math> sont : <math>w_0=\frac{-q+\delta}2,\;w_1=\frac{-q-\delta}2</math>. Les 6 solutions de l'équation en <math>y</math> sont donc <math>\mathrm j^lu_k</math> pour <math>k\in\{0,1\}</math> et <math>l\in\{0,1,2\}</math>, où <math>u_0</math> est l'une des trois racines cubiques de <math>w_0</math>, et <math>u_1=-\frac p{3u_0}</math> (racine cubique de <math>w_1=-\frac{p^3}{27w_0}</math>).
#Les 3 solutions de <math>z^3+pz+q=0</math> sont donc <math>z_l:=\mathrm j^lu_0-\frac p{3\mathrm j^lu_0}=\mathrm j^{-l}u_1-\frac p{3\mathrm j^{-l}u_1}=\mathrm j^lu_0+\mathrm j^{-l}v_0</math> pour <math>l\in\{0,1,2\}</math> (ou <math>l\in\{-1,0,1\}</math>), où <math>u_0</math> est l'une des trois une des trois racines cubiques de <math>\frac{-q+\delta}2</math> et <math>v_0:=u_1</math> est la racine cubique de <math>\frac{-q-\delta}2</math> telle que <math>u_0v_0=-\frac p3</math>, <math>\delta</math> étant l'une des deux racines carrées de <math>q^2+4\frac{p^3}{27}=-\frac\Delta{27}</math>.
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== Exercice 4-6 ==
La méthode suivante est due à [[w:Joseph-Louis Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736-1813).
Soient <math>x_0,x_1,x_2</math> les solutions de <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> (numérotées dans un ordre arbitraire). On pose :
*<math>y_0=x_0+x_1+x_2</math> ;
*<math>y_1=x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2</math> ;
*<math>y_2=x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2</math>.
#Quel est l'effet, sur ces trois expressions, d'une permutation des <math>x_i</math> ?
#En déduire que <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math> sont des polynômes symétriques en <math>x_0,x_1,x_2</math>.
#Le retrouver par calcul direct, et exprimer <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math> en fonction de <math>a,\,b,\,c,\,d</math>.
#En déduire une algorithme pour calculer <math>y_0,\{y_1,y_2\}</math>, puis <math>x_0,\{x_1,x_2\}</math>.
#Retrouver ainsi les formules de Cardan.
{{Solution|contenu=
#Toute permutation des <math>x_i</math> laisse évidemment <math>y_0</math> invariant. Elle envoie <math>(y_1,y_2)</math> sur :
#*<math>(\mathrm j^2y_1,\mathrm jy_2)</math> ou <math>(\mathrm jy_1,\mathrm j^2y_2)</math> si c'est une permutation circulaire ;
#*<math>(y_2,y_1)</math> ou <math>(\mathrm jy_2,\mathrm j^2y_1)</math> ou <math>(\mathrm j^2y_2,\mathrm jy_1)</math> si c'est une transposition.
#D'après la question précédente, toute permutation des <math>x_i</math> laisse fixes <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math>.
#
#:<math>y_0=\sigma_1=-\frac ba</math> ;
#:<math>\begin{align}y_1y_2&=(x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2)(x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2)\\
&=\sum x_i^2-\sum_{i<j}x_ix_j\\
&=\sigma_1^2-3\sigma_2\\
&=\left(-\frac ba\right)^2-3\frac ca\\
&=\frac{b^2-3ac}{a^2}~;\end{align}</math>
#:<math>\begin{align}y_1^3+y_2^3&=\left(x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2\right)^3+\left(x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2\right)^3\\
&=2\sum x_i^3-3\sum_{i\ne j}x_i^2x_j+12x_0x_1x_2\\
&=2(\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3)-3(\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3)+12\sigma_3\\
&=2\sigma_1^3-9\sigma_1\sigma_2+27\sigma_3\\
&=2\left(-\frac ba\right)^3-9\left(-\frac ba\right)\frac ca+27\left(-\frac da\right)\\
&=\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{a^3}.\end{align}</math>
#Notons <math>A=\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{a^3}</math> et <math>B=\frac{b^2-3ac}{a^2}</math>.<br><math>y_1^3</math> et <math>y_2^3</math> ont pour somme <math>A</math> et pour produit <math>B^3</math> donc <math>y_1^3=\frac{A+C}2</math> et <math>y_2^3=\frac{A-C}2</math>, avec <math>C^2=A^2-4B^3</math>. De plus, <math>y_1y_2=B</math>.<br>Ceci permet donc (par extraction d'une racine carrée et d'une racine cubique) de calculer la paire <math>\{y_1,y_2\}</math>. On sait également que <math>y_0=-\frac ba</math>. On peut ensuite calculer<br><math>x_0=\frac{y_0+y_1+y_2}3</math> et <math>\{x_1,x_2\}=\left\{\frac{y_0+\mathrm j^2y_1+\mathrm jy_2}3,\frac{y_0+\mathrm jy_1+\mathrm j^2y_2}3\right\}</math>.
#Soient <math>p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}</math> et <math>q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}</math> (les coefficients de l'équation <math>z^3+pz+q=0</math> à laquelle <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> se ramène par changement de variable <math>x=z-\frac b{3a}</math>). Les formules précédentes se réécrivent :<br><math>A=-27q,\;B=-3p</math> et, en posant <math>\delta=\frac C{27},\;u=\frac{y_1}3,\;v=\frac{y_2}3</math> :<br><math>\delta^2=q^2+\frac{4p^3}{27},\;u^3=\frac{-q+\delta}2,\;v^3=\frac{-q-\delta}2,\;uv=-\frac p3,\;x_0=u+v-\frac b{3a},\;\{x_1,x_2\}=\left\{\mathrm j^2u+\mathrm jv-\frac b{3a},\mathrm ju+\mathrm j^2v-\frac b{3a}\right\}</math>.
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