« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
}}
 
== Exercice 2-3 : quelques normes sur <math>\R^2</math>==
#Représenter graphiquement les boules unités de <math>\R^2</math> muni respectivement des normes
#:<math>\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,\quad\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|).</math>
#Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
#On considère l'application linéaire <math>u:(\R^2,\|\cdot\|_2)\to(\R^2,\|\cdot\|_2)</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée.
#Même question en remplaçant <math>\|\cdot\|_2</math> par les deux autres normes ci-dessus.
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}}
 
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