« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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#*Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|,|y|\le1}\max(|x+y|,|x-y|)=\max_{0\le s,t\le1}(s+t)=2</math>.
#*Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|+|y|\le1}(|x+y|+|x-y|)=\max_{0\le t\le s,\;s+t\le1}(s+t+s-t)=2</math>.
}}
== Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes==
#Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace <math>\R[X]</math> des polynômes réels :
#*<math>P\mapsto\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|\;\mathrm dt</math> ;
#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> ;
#*<math>P\mapsto\|P\|_\infty=\sup\{|P(t)|\mid t\in[0,1]\}</math>.
#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> :
#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>.
#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> telle que :
#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>.
#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.)
{{Solution|contenu=
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#*<math>\|\cdot\|_1</math> est même une norme sur l'espace des fonctions [[Intégration (mathématiques)|intégrables]] de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>, dont <math>\R[X]</math> s'identifie à un sous-espace.
#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> est une semi-norme (c.-à-d. qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si <math>|P(0)|+\|P'\|_1=0</math> alors <math>P(0)=0</math> et <math>P'=0</math> donc <math>P=P(0)=0</math>.
#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>.
#[[w:Théorème de Borel-Lebesgue#Contre-exemple en dimension infinie]]
{{en cours}}
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