« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> :
#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>.
#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>.
#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.)
#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>.
#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes.
#[[w:Théorème de Borel-Lebesgue#Contre-exemple en dimension infinie]]
#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>.
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