« Introduction aux suites numériques/Suites géométriques » : différence entre les versions
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→Somme des termes d'une suite géométrique : correction prenant en compte le cas où q=1 |
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Ligne 86 :
La somme des <math>n+1</math> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :
<div style="text-align: center;"><math>u_0 + u_1+\cdots + u_n =\begin{cases}u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q} &\text{lorsque }q\ne 1\\u_0\times (n+1) &\text{lorsque } q=1\end{cases}</math></div>
}}
Ligne 94 :
|titre = Formule générale
|contenu = La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique <math>(v_n)</math> de raison <math>q</math> du rang <math>i</math> au rang <math>j</math> s'exprime par :
<div style="text-align: center;"><math>v_i+v_{i+1}+\cdots+v_j=\begin{cases}v_i\times \frac{1-q^{j-i+1}}{1-q} &\text{lorsque } q\ne 1\\v_i \times (j-i+1) &\text{lorsque } q=1\end{cases} </math></div>
}}
Ligne 101 :
Soit <math>S_n:=u_0 + u_1+\cdots + u_n</math> la première somme à calculer. On écrit
:<math>S_n=u_0+u_0q+\dots+u_0q^n</math>
: <math>\begin{align}
(1-q)S_n&=(1-q)(u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^n)\\
&=u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^{n}\\
Ligne 113 :
Finalement, on trouve :
:<math>S=u_0\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.</math>
; Si <math>q= 1</math>, alors on a :
: <math>\begin{aligned}S_n&=u_0+u_0q+\dots+u_0q^n
\\&=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_0
\\&=u_0 \times \sum_{k=0}^n 1
\\&=u_0 \times (n+1)
\end{aligned}
</math>
On trouve donc :
:<math>S=u_0 \times (n+1).</math>
La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour <math>k</math> de <math>0</math> à <math>n:=j-i</math>) <math>u_k:=v_{i+k}</math>.
}}
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