Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

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Définition par récurrence

Définition d'une suite géométrique

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

• la valeur de son premier terme $u_{0}$
• une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}\times q$

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$. Le facteur $q$ est défini par : $q={u_{n+1} \over u_{n}}$

Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

• $u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
• $u_{0}=3,u_{1}=9,u_{2}=27,u_{3}=81,...$
• $u_{0}=1,u_{1}=-5,u_{2}=25,u_{3}=-125,u_{4}=625,...$
• $u_{0}=10,u_{1}=5,u_{2}=2.5,u_{3}=1.25,u_{4}=0.625,...$
• $u_{0}=2,u_{1}=4,u_{2}=9,u_{3}=16,u_{4}=25,u_{5}=36,u_{6}=49,u_{7}=64,u_{8}=81,u_{9}=100,...$

Solution

• La première suite est géométrique de raison 2
• La deuxième suite est géométrique de raison 3
• La troisième suite est géométrique de raison -5
• La quatrième suite est géométrique de raison 0.5
• La dernière suite n’est pas géométrique

 

Terme général d'une suite géométrique

Pour calculer $u_{n}$, il faut d'abord multiplier n fois la raison $q$ par elle-même et ensuite, multiplier l'ensemble par le premier terme $u_{0}$.

Début d’un théorème

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule suivante : $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$

Fin du théorème

Utilisation du terme général

• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et $q=1,5$. Calculer $u_{11}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et $q=-2$. Calculer $u_{25}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et $q=0,25$. Calculer $u_{10}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et $q=3$. Calculer $u_{0}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$. Calculer $u_{0}$ et $q$

Solution

• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{11}\approx 259,5$
• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{25}=0,5\times (-2)^{25}=-16777216$
• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
• $u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
• On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$, donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$, soit $q=2$.

On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}\approx 1,22\times 10^{-2}$

 

Sens de variation d'une suite géométrique

Début d’un théorème

Théorème 1

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q réelle est :

• croissante si $q>1$
• décroissante si $0<q<1$
• constante si $q=1$
• non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème 2

Une suite géométrique de premier terme négatif et de raison q réelle est :

• croissante si $0<q<1$
• décroissante si $q>1$
• constante si $q=1$
• non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$

Fin du théorème

Somme des termes d'une suite géométrique

Début d’un théorème

Théorème

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q$, du rang $i$ au rang $j$, s'exprime par :

$u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}={\begin{cases}u_{i}\times {\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{i}\times k&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

où $k=j-i+1$ est le nombre de termes de la somme.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $S:=u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}$ la somme à calculer.

On écrit : $S=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}$

Si $q\neq 1$, on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$

${\begin{aligned}(1-q)S&=(1-q)(u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i})\\&=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}\\&{\color {White}{}=u_{i}}-u_{i}q-\dots -u_{i}q^{j-i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}(1-q^{k})\end{aligned}}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve : $S=u_{i}{\cfrac {1-q^{k}}{1-q}}$.

Si $q=1$, on a simplement : $S=u_{i}+u_{i}+\dots +u_{i}$ ($k$ fois)

On trouve donc : $S=u_{i}k$.

 

Calculs de sommes

En utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique,

1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et $q=2$. Calculer $S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}$

2. Calculer $S=1+3+9+27+81+\cdots +59049$

Solution

1. $S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453$

2. On remarque que le quotient est $q=3$, que $u_{0}=1$ et que $u_{10}=59049$. Ainsi, $S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573$

 

Remarque

Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».