« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).

##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.

{{Solution|contenu=

#En développant <math>\operatorname J_{f\circ\phi}(s,t)=(J_f)_{\phi(s,t)}\times(J_\phi)_{(s,t)}</math>, on trouve :<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial s}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial s}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial s}(s,t)</math> et<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial t}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial t}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial t}(s,t)</math>.

&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\cos\theta-\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\sin\theta}r&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\sin\theta+\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\cos\theta}r\end{pmatrix}.

\end{align}</math>

}}