Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

Différentiabilité
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Exercices no1
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inversion locale, fonctions implicites
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Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité
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Exercice 1Modifier

On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le théorème « limite de la dérivée », et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient   et   deux espaces vectoriels normés,   un ouvert de   et   un point de  .

  1. Soit   une application continue au point  , différentiable sur  , et dont la différentielle admet au point   une limite :  .
    À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que   est différentiable au point   et  .
  2. Application : montrer que la fonction
     
    est de classe C1.
  3. Soit   une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point  . À l'aide du critère de Cauchy pour une fonction, démontrer que si   est complet et  , alors   elle-même admet une limite en   (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe C1 en ce point).
  4. Quelle variante de la question 3 peut-on énoncer si   ?

Exercice 2Modifier

Soit   une algèbre de Banach unifère, c'est-à-dire une  -algèbre unifère munie d'une norme :

  • sous-multiplicative (c'est-à-dire telle que  ) ;
  • pour laquelle   est complète

(par exemple : l'algèbre   munie de la norme  , où   est un espace de Banach).

Démontrer que :

  1.   (où   désigne l'élément unité de   et par convention,  ) ;
  2. dans  , le groupe   des éléments inversibles est ouvert ;
  3. l'application   est différentiable et   ;
  4. l'application   est même de classe C.
  5. Dans le cas particulier  , retrouver directement le résultat des questions 2, 4, puis 3.

Exercice 3Modifier

Soient   un espace vectoriel normé,   un ouvert de   contenant   et   une fonction continue et admettant par rapport à sa seconde variable une fonction différentielle   continue sur  . Pour   fixé, dans l'espace   des applications continues   (muni de la norme de la convergence uniforme), on considère l'ouvert   de celles qui vérifient :  .

Démontrer que l'application   définie par   est continûment différentiable et que  .

Exercice 4Modifier

Soient  ,   un espace vectoriel normé et   l'espace des fonctions de   dans  , de classe C1 et nulles en  , muni de la norme  , où   est la norme de la convergence uniforme. Montrer que l'application   est de classe C1.

Exercice 5Modifier

Soient   et   deux e.v.n. réels. Une application   est dite homogène de degré   si  .

  1. Parmi les fonctions homogènes de degré  , lesquelles sont continues en   ?
  2. Montrer que si   est homogène de degré   et bornée sur la sphère unité, alors   est continue en  .
  3. Montrer que si   est homogène de degré   et différentiable en  , alors ou bien   est linéaire (et  ), ou bien   et  .
  4. Montrer que si   est homogène de degré   et bornée sur la sphère unité, alors   est différentiable en   (et  ).
  5. Application : étudier la continuité et la différentiabilité en   des fonctions   définies par
    •   si   et   ;
    •   si   et   ;
    •   si   et   (discuter suivant les valeurs de  ).

Exercice 6Modifier

  1. Soient   de classe C1 et   de classe C1. On considère
     .
    Montrer que   est bien définie sur  , de classe C1 et calculer  .
  2. Application :  

Exercice 7Modifier

  1. Soient   et   deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de   à l'aide de celles de   et de  .
  2. Application à  . Soit   une fonction différentiable sur  .
    1. On pose   et  . Exprimer   et   à l'aide des dérivées partielles de   (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les opérateurs différentiels   et  ).
    2. Plus généralement, exprimer   et   à l'aide des dérivées partielles de  .
    3. Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire  , où  , à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de  .
  3. Trouver toutes les fonctions différentiables   vérifiant :   et admettant une limite en  .

Exercice 8Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables) ».

Soient   et   deux  -espaces vectoriels normés (  ou  ),   un cône de  ,   une application différentiable, et   un élément de  .

Montrer que   est positivement homogène de degré   (c.-à-d.  ) si et seulement si elle vérifie la condition d'Euler :

 .

Exercice 9Modifier

Soient   et   deux fonctions différentiables. Justifier que les applications suivantes sont différentiables et calculer leur différentielle.

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.   ;

Exercice 10Modifier

Si   est une application différentiable de   dans  , on note

 .
  1. Calculer   pour  .
  2. Justifier que si   et   sont des applications telles que  , alors  .

Exercice 11Modifier

On considère la fonction  . Montrer que pour tous réels distincts   et  , il n'existe aucun réel   tel que  .

Exercice 12Modifier

Soit  .

  1. Justifier que   est différentiable.
  2. Montrer que  , où   désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur  .
  3. En déduire que pour tout  , la suite   définie par   est convergente.

Exercice 13Modifier

Déterminer les fonctions dérivables   telles que  .

Pour une étude complète de cette équation fonctionnelle, voir Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 4.

Exercice 14Modifier

Redémontrer directement le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le cas particulier plus simple  est l'espace euclidien  , c.-à-d. :

Soient   et   continue sur   et dérivable sur  . Si   alors  .

Indication : appliquer le théorème des accroissements finis usuel à la fonction  .

Exercice 15Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Dérivée directionnelle ».

Soient   et   deux e.v.n. et   une application. La dérivée directionnelle de   en un point   selon un vecteur   est par définition la limite suivante, lorsqu'elle existe :

 .
  1. Vérifier que si cette dérivée directionnelle selon   existe, alors celle selon   existe aussi et est le produit par   de celle selon   (pour tout scalaire  ).
  2. Montrer que si   est différentiable en   alors sa dérivée directionnelle en   selon   existe et est égale à   (pour tout vecteur  ).
  3. Montrer que si, pour toute courbe   telle que   et  , la fonction   est dérivable en  , alors   admet en   une dérivée directionnelle selon  .