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→Exercice 7 : calcul du laplacien en coordonnées polaires |
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== Exercice 7==
#Soient <math>\phi=\left(\phi_1,\phi_2\right):\R^2\to\R^2</math> et <math>f:\R^2\to\R</math> deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> à l'aide de celles de <math>f</math> et de <math>\phi</math>.
#Application à <math>\phi:\left]0,+\infty\right[\times\left]-\pi,\pi\right[\to\R^2\setminus\{\left(0,0\right)\},\;\left(r,\theta\right)
##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).
##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.
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