« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions
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→Suites équivalentes : Suite du cours sur la relation d'équivalence des suites. |
→Opérations sur les suites équivalentes : mef+viré une preuve fausse (contre-exemple u_n=0)+mis le dernier exemple à sa juste place |
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Ligne 68 :
|titre =Proposition : Opérations sur les équivalents
| contenu =
Soient <math>(u_n),
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n
*:En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>
}}
{{Démonstration déroulante
Ligne 79 :
:Supposons que <math>u_n\sim u'_n</math> et <math>v_n\sim v'_n</math>.
:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nu'_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nv'_n</math>.
:Alors, on a <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_nu'_n=\alpha_n\beta_nv_nv'_n</math>
}}▼
{{Exemple|▼
Déterminer un équivalent de <math>u_n=\sqrt{1+\sqrt n}</math>.
}}
;Remarques
:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:Par exemple, on a <math>n^3+1 \sim n^3</math> et <math>-n^3 \sim -n^3</math> mais <math>n^3+1-n^3=1 \nsim 0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour <math>f=\ln</math>,
Voyons maintenant des équivalents qui
{{Proposition
|titre =Proposition :
| contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique telle que <math>u_n
*<math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>
*<math>\exp(u_n)-1\sim u_n</math>
*<math>\tan(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sin(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sqrt{1+u_n}-1\sim
*<math>(1+u_n)^
}}
Tous ces exemples se déduisent des équivalents en 0 des fonctions que l'on applique à la suite. Par exemple : la fonction <math>x\mapsto\ln(1+x)</math> est équivalente en 0 à <math>x\mapsto x</math>.
▲|contenu=
{{Exemple|
▲}}
▲{{Exemple
|contenu =
*:On a <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})=\ln(1+(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1))</math>.▼
▲*:On a <math>u_n^2=1+\sqrt{n} \sim \sqrt{n}</math>, donc <math>u_n=(u_n^2)^{\frac{1}{2}}\sim (\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{4}}</math>.
}}
=== Applications ===
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur la propriété suivante :
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