« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Opérations sur les suites équivalentes : mef+viré une preuve fausse (contre-exemple u_n=0)+mis le dernier exemple à sa juste place
(→‎Suites équivalentes : Suite du cours sur la relation d'équivalence des suites.)
(→‎Opérations sur les suites équivalentes : mef+viré une preuve fausse (contre-exemple u_n=0)+mis le dernier exemple à sa juste place)
|titre =Proposition : Opérations sur les équivalents
| contenu =
Soient <math>(u_n), (v_n), (w_n)</math> trois suites numériques, et <math>\lambda, \alpha \in \R</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n \sim v_nv'n</math>.
*:En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim \lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_nv_nv_n\neq 0ne0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n\frac{1}ne0</math> pour <math>n</math> assez grand et <math>\frac1{u_n}\sim \frac{1}frac1{v_n}</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_n, v_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand et <math>u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
:Supposons que <math>u_n\sim u'_n</math> et <math>v_n\sim v'_n</math>.
:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nu'_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nv'_n</math>.
:Alors, on a <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_nu'_n=\alpha_n\beta_nv_nv'_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n \to1</math>.
}}
{{Exemple|
|contenu= =
Déterminer un équivalent de <math>u_n=\sqrt{1+\sqrt n}</math>.
 
*:On a <math>u_n^2=1+\sqrt{ n} \sim \sqrt{ n}</math>, donc <math>u_n=(u_n^2)^{\frac{1}{2}}frac12\sim (\sqrt{ n})^{\frac{1}{2}}frac12=n^{\frac{1}{4}}frac14</math>.
}}
;Remarques
:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:Par exemple, on a <math>n^3+1 \sim n^3</math> et <math>-n^3 \sim -n^3</math> mais <math>n^3+1-n^3=1 \nsim 0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour <math>f=\ln</math>, etpar <math>\frac{1}{n}frac1n+1\sim 1sim1</math> mais <math>\ln\left(\frac{1}{n}frac1n+1\right)\nsim \ln(1)ln1=0</math>.
 
Voyons maintenant des équivalents qui servironsserviront de référence.
{{Proposition
|titre =Proposition : Equivalentséquivalents de référence
| contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique telle que <math>u_n \to 0</math>, alors :
*<math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>
*<math>\exp(u_n)-1\sim u_n</math>
*<math>\tan(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sin(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sqrt{1+u_n}-1\sim \frac{1}{2}u_nfrac12u_n</math>
*<math>(1+u_n)^{\alpha}-1\sim \alpha u_n (\alpha \in \R)</math>.
}}
Tous ces exemples se déduisent des équivalents en 0 des fonctions que l'on applique à la suite. Par exemple : la fonction <math>x\mapsto\ln(1+x)</math> est équivalente en 0 à <math>x\mapsto x</math>.
{{Démonstration déroulante
 
|contenu=
{{Exemple|
On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.
Comme <math>u_n \to0</math>, alors <math>u_n \neq 0</math> pour <math>n</math> assez grand.
On a alors <math>\frac{\ln(1+u_n)}{u_n} \to1</math>, car le taux d'accroissement <math>\frac{\ln(1+h)}{h}\to1</math> quand <math>h\to0</math>, d'où <math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>.
}}
Donnons des exemples de calcul d'équivalent en utilisant ces équivalents de référence :
{{Exemple
|contenu =
*Déterminer un équivalent de <math>u_n=\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})</math>.
 
*:On a <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})=\ln(1+(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1))</math>.
*:Or,On a <math>\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1=1+\frac{n^23+n+3}{n^3-n^2}\sim -1=1+\frac{n^2+n+3}{n^3}=\frac{1}{-n^2}\to0</math>.
 
*:D'où, <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})\sim \frac{1}{n}</math>.
*Déterminer un équivalent deOr, <math>u_n=\sqrtfrac{1n^2+n+3}{n^3-n^2}\sim\sqrtfrac{n^2}{n^3}=\frac1n\to0</math>.
 
*:On a <math>u_n^2=1+\sqrt{n} \sim \sqrt{n}</math>, donc <math>u_n=(u_n^2)^{\frac{1}{2}}\sim (\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{4}}</math>.
*:On aD'où, <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})=\ln(1+(sim\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1))frac1n</math>.
}}
 
=== Applications ===
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur la propriété suivante :
13 027

modifications