Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison

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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites, et l'objectif est d'étudier le comportement des suites en l'infini. Une première information sur ce comportement est donnée par la limite de la suite, mais cela ne suffit pas pour décrire son comportement en l'infini.

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Par exemple, les deux suites définies par $u_{n}=n$ et $v_{n}=\exp(n)$ divergent toutes les deux vers $+\infty$ mais ne divergent pas à la même vitesse, car l'exponentielle croît beaucoup plus vite, comme en témoigne la limite ${\frac {\exp(n)}{n}}\to +\infty$. L'objectif des notions présentées ici va justement être de formaliser ces différences, et elles trouveront des applications dans le calcul de limite, et dans le cours sur les séries elles permettront d'étudier la convergence des séries.

Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des mêmes notions pour les fonctions.

Suites dominées

Une suite sera dite dominée par une autre si son comportement en l'infini est « encadré » par la suite dominante, et cela permet d'obtenir des informations sur la suite dominée. On traduit cette idée dans la définition suivante :

Définition

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites. On dit que $(u_{n})$ est dominée par $(v_{n})$, ce que l'on note $u_{n}\,{\underset {n\to \infty }{=}}\,O(v_{n})$, ou plus simplement $u_{n}=O(v_{n})$, lorsqu'il existe une suite $(w_{n})$ bornée telle que $u_{n}=v_{n}w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Remarque

1. La notation utilisée ici est celle de Landau. Il existe une autre notation, la notation de Hardy, moins courante, où l'on note $u_{n}\preccurlyeq v_{n}$ pour signifier que $(u_{n})$ est dominée par $(v_{n})$.
2. On remarque que deux suites différentes $(u_{n})$ et $(v_{n})$ peuvent être dominées par la même suite $(w_{n})$. Dans ce cas l'emploi du signe égalité dans la notation de Landau peut prêter à confusion car on écrit : $u_{n}=O(w_{n})$ et $v_{n}=O(w_{n})$ avec malgré tout $(u_{n})\neq (v_{n})$. Pour éviter cette confusion, on pourrait écrire $u_{n}\in O(w_{n})$ où $O(w_{n})$ désigne l'ensemble des suites dominées par $(w_{n})$, mais nous nous conformerons à la pratique courante de la notation.

Proposition

Si $(v_{n})$ ne s'annule pas pour $n$ assez grand alors :

$u_{n}=O(v_{n})\Longleftrightarrow {\frac {u_{n}}{v_{n}}}$ est bornée.

À ce stade, il faut savoir comment se comporte la relation de comparaison vis-à-vis des opérations usuelles, et ici (contrairement à l'équivalence) tout se passe bien comme nous l'assure le résultat suivant :

Proposition : Opérations sur $O$

Soient $(u_{n}),(u'_{n}),(v'_{n}),(v'_{n}),(w_{n})$ des suites numériques, et $\lambda \in \mathbb {R}$.

• Si $u_{n}=O(v_{n})$ et $v_{n}=O(w_{n})$ alors $u_{n}=O(w_{n})$.
• Si $u_{n}=O(v_{n})$ et $u'_{n}=O(v'_{n})$ alors $u_{n}u'_{n}=O(v_{n}v'_{n})$.
• Si $u_{n}=O(v_{n})$ et $u'_{n}=O(v_{n})$ alors $\lambda u_{n}+u'_{n}=O(v_{n})$.

'Démonstration'

Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.

Soient $(u_{n}),(v_{n}),(w_{n})$ trois suites. Si $u_{n}=O(v_{n})$ alors $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ et une suite $(\alpha _{n})$ bornée tels que $\forall n>N_{0},\ u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$. De même, $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ et une suite $(\beta _{n})$ bornée tels que $\forall n>N_{1},\ u_{n}=\beta _{n}v_{n}$.

Alors $\forall n>\max(N_{0},N_{1}),\ u_{n}=\alpha _{n}\beta _{n}v_{n}$, et la suite $(\alpha _{n}\beta _{n})$ est bornée.

Ce qui montre que $u_{n}=O(v_{n})$.

 

Voyons quelques applications de la domination :

Proposition : Comportement en l'infini

Si $u_{n}=O(v_{n})$ alors :

1. Si $(v_{n})$ est bornée, alors $(u_{n})$ également. En particulier, si $(v_{n})$ converge alors $(u_{n})$ est bornée.
2. Si $v_{n}\to 0$ alors $u_{n}\to 0$.

'Démonstration'

Les résultats découlent directement de la définition.

En effet, il existe une suite $(\alpha _{n})$ bornée par $C\in \mathbb {R}$ et un entier $N\in \mathbb {N}$ tels que $\forall n>Nu_{n}=\alpha _{n}v_{n}$.

D'où : $u_{n}\leq Cv_{n}$, et l'on déduit les résultats souhaités.

 

Suites négligeables

Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se produit lorsqu'une suite est « beaucoup plus petite » ou « beaucoup moins grande » qu'une autre quand $n$ devient très grand.

Définition

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites. On dit que $(u_{n})$ est négligeable devant $(v_{n})$, ou que $(v_{n})$ est prépondérante devant $(u_{n})$, ce que l'on note $u_{n}\,{\underset {n\to \infty }{=}}\,o(v_{n})$, ou plus simplement $u_{n}=o(v_{n})$, lorsqu'il existe une suite $(w_{n})$ telle que $w_{n}\to 0$ et que $u_{n}=v_{n}w_{n}$ à partir d'un certain rang.

La même remarque que pour la domination s'applique concernant la notation $u_{n}=o(v_{n})$. Et l'on conserve une caractérisation plus simple à l'aide d'un quotient comme nous l'indique la proposition suivante :

Proposition

Si $(v_{n})$ ne s'annule pas pour $n$ assez grand alors :

$u_{n}=o(v_{n})\Longleftrightarrow {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to 0$.

De même que pour la domination, la notion de prépondérance se comporte bien vis-à-vis des opérations algébriques sur les suites.

Proposition : Opérations sur $o$

Soient $(u_{n}),(u'_{n}),(v'_{n}),(v'_{n}),(w_{n})$ des suites numériques, et $\lambda \in \mathbb {R}$.

• Si $u_{n}=o(v_{n})$ et $v_{n}=o(w_{n})$ alors $u_{n}=o(w_{n})$.
• Si $u_{n}=o(v_{n})$ et $u'_{n}=o(v'_{n})$ alors $u_{n}u'_{n}=o(v_{n}v'_{n})$.
• Si $u_{n}=o(v_{n})$ et $u'_{n}=o(v_{n})$ alors $\lambda u_{n}+u'_{n}=o(v_{n})$.

'Démonstration'

Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.

Soient $(u_{n}),(v_{n}),(w_{n})$ trois suites. Si $u_{n}=o(v_{n})$ alors $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ et une suite $(\alpha _{n})$ tels que $\alpha _{n}\to 0$ et $\forall n>N_{0},\ u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$. De même, $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ et une suite $(\beta _{n})$ tels que $\beta _{n}$ et $\forall n>N_{1},\ u_{n}=\beta _{n}v_{n}$.

Alors $\forall n>\max(N_{0},N_{1}),\ u_{n}=\alpha _{n}\beta _{n}v_{n}$, et la suite $(\alpha _{n}\beta _{n})$ tend vers $0$.

Ce qui montre que $u_{n}=o(v_{n})$.

 

Les applications de cette notion se manifestent également dans le comportement « à l'infini » des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.

Proposition : Comportement en l'infini

Si $u_{n}=o(v_{n})$ alors :

Si $(v_{n})$ est bornée, alors $(u_{n})\to 0$.

En particulier, si $(v_{n})$ converge, alors $u_{n}\to 0$.

'Démonstration'

Les résultats découlent directement de la définition.

En effet, il existe une suite $(\alpha _{n})$ et un entier $N\in \mathbb {N}$ tels que $\alpha _{n}\to 0$ et $\forall n>Nu_{n}=\alpha _{n}v_{n}$.

D'où l'on déduit les résultats souhaités à l'aide des théorèmes de comparaison sur les limites.

 

Début de l'exemple

Exemples de référence

On a les résultats suivants, obtenus en formant le quotient des deux suites et en montrant qu'il tend vers $0$ :

1. $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,(n^{\alpha }=o(n^{\beta })\Longleftrightarrow \alpha <\beta )$.
2. $\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\ a>1,\ n^{\alpha }=o(a^{n})$.
3. $\forall a\in \mathbb {R} ,\ a^{n}=o(n!)$.
4. $\forall \alpha >0,\ \ln n=o(n^{\alpha })$.
5. $n!=o(n^{n})$

Fin de l'exemple

Avec la notation de Hardy $u_{n}\prec v_{n}$ pour $u_{n}=o(v_{n})$, on peut mémoriser l'essentiel de ces résultats sous la forme :

$\forall \alpha >0\quad \forall a>1$ :

$\ln n\prec n^{\alpha }\prec a^{n}\prec n!\prec n^{n}$.

Suites équivalentes

Premiers pas

Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand $n$ devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :

Définition

On dit que deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, ce que l'on note $u_{n}\,{\underset {n\to \infty }{\sim }}\,v_{n}$, ou plus simplement $u_{n}\sim v_{n}$, lorsqu'il existe une suite $(w_{n})$ qui converge vers $1$ et telle que $u_{n}=v_{n}w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Remarques

• Pour des suites équivalentes, la notation $u_{n}\sim v_{n}$ est non ambiguë (de même que la notation $u_{n}\to \ell$ pour la limite d'une suite), contrairement à la notation $f\sim g$ pour des fonctions.
• D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites $(u_{n})$ nulles à partir d'un certain rang. De plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).

Proposition

Si $(v_{n})$ ne s'annule pas pour $n$ assez grand alors :

$u_{n}\sim v_{n}\Longleftrightarrow {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to 1$.

Remarque

On en déduit que si $u_{n}\sim v_{n}$ et si $(v_{n})$ est non nulle à partir d'un certain rang alors, pour $n$ assez grand, $u_{n}$ est non nul et du même signe que $v_{n}$.

Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que ${\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to 1$.

Début de l'exemple

Exemple

* Soit $\ell$ un réel non nul. Une suite $(u_{n})$ converge vers $\ell$ si et seulement si $u_{n}\sim \ell$.

• Soit $(u_{n})$ une suite définie par $u_{n}=P(n)$ où $P$ est un polynôme de degré $d$ et de coefficient dominant $\lambda$. Alors, $u_{n}\sim \lambda n^{d}$.
• Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=\sin {\frac {1}{n^{2}}}$. Alors, $u_{n}\sim {\frac {1}{n^{2}}}$ .

Fin de l'exemple

Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.

Proposition

La relation $u_{n}\sim v_{n}$ est une relation d'équivalence.

Pour rappel, on a alors, pour toutes suites $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ :

• $u_{n}\sim u_{n}$ (réflexivité) ;
• si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $v_{n}\sim u_{n}$ (symétrie) ;
• si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\sim w_{n}$ alors $u_{n}\sim w_{n}$ (transitivité).

'Démonstration'

La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements. Soit $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites.

• Pour la réflexivité :

  Posons $\forall n\in \mathbb {N} \quad \alpha _{n}=1$. On a ainsi $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\alpha _{n}u_{n}$, ce qui par définition donne $u_{n}\sim u_{n}$.

• Pour la symétrie :

  Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$.

  Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$. Comme $\alpha _{n}$ converge vers $1$, il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout $n>N,\quad \alpha _{n}>0$.

  On a ainsi $\forall n>\max(N_{0},N)\quad v_{n}={\frac {1}{\alpha _{n}}}u_{n}$ et ${\frac {1}{\alpha _{n}}}\to 1$, et donc $v_{n}\sim u_{n}$.

• Pour la transitivité :

  Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\sim w_{n}$.

  Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$, et une suite $(\beta _{n})$ telle que $\beta _{n}\to 1$ et $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{1}\quad v_{n}=\beta _{n}w_{n}$.

  Et finalement, $\forall n>\max(N_{0},N_{1})\quad u_{n}=\alpha _{n}\beta _{n}w_{n}$ et $\alpha _{n}\beta _{n}\to 1$, d'où $u_{n}\sim w_{n}$.

 

Opérations sur les suites équivalentes

L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :

Proposition : Opérations sur les équivalents

Soient $(u_{n}),(v_{n}),(u'_{n}),(v'_{n}),(w_{n})$ des suites numériques, et $\lambda ,\alpha \in \mathbb {R}$.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $u'_{n}\sim v'_{n}$ alors $u_{n}u'_{n}\sim v_{n}v'_{n}$.

  En particulier, si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $\lambda u_{n}\sim \lambda v_{n}$ et $u_{n}w_{n}\sim v_{n}w_{n}$.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\neq 0$ pour $n$ assez grand, alors ${\frac {1}{u_{n}}}\sim {\frac {1}{v_{n}}}$.
• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}>0$ pour $n$ assez grand, alors $u_{n}^{\alpha }\sim v_{n}^{\alpha }$.

'Démonstration'

On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.

Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$. Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$ donc $u_{n}u'_{n}=\alpha _{n}v_{n}u'_{n}$, ce qui prouve que $u_{n}u'_{n}\sim v_{n}u'_{n}$.

De même, si $u'_{n}\sim v'_{n}$ alors $v_{n}u'_{n}\sim v_{n}v'_{n}$.

La conclusion s'ensuit par transitivité.

 

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer un équivalent de $u_{n}={\sqrt {1+{\sqrt {n}}}}$. On a $u_{n}^{2}=1+{\sqrt {n}}\sim {\sqrt {n}}$ donc $u_{n}=(u_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}\sim {\sqrt {n}}^{\frac {1}{2}}=n^{\frac {1}{4}}$.

Fin de l'exemple

Remarques

De manière générale, il est « interdit » de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si $u_{n}\sim v_{n}$ et $u'_{n}\sim v'_{n}$, on peut avoir $u_{n}+u'_{n}\nsim v_{n}+v'_{n}$, et pour une fonction $f$, $f(u_{n})\nsim f(v_{n})$.

Par exemple, on a $1+{\frac {1}{n}}\sim 1$ mais $1+{\frac {1}{n}}+(-1)={\frac {1}{n}}\nsim 0=1+(-1)$.

Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour $f=\ln$, par $\operatorname {e} ^{1/n}\sim 1$ mais $\ln \left(\operatorname {e} ^{1/n}\right)={\frac {1}{n}}\nsim 0=\ln 1$.

Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence. Tous se déduisent d'équivalents usuels en 0 de fonctions, en les composant à droite par la suite.

Équivalents de référence

Soit $(u_{n})$ une suite numérique telle que $u_{n}\to 0$, alors :

• $\ln(1+u_{n})\sim u_{n}$ ;
• $\exp(u_{n})-1\sim u_{n}$ ;
• $\sin u_{n}\sim u_{n}$ et $\tan u_{n}\sim u_{n}$ ;
• pour tout $\alpha \in \mathbb {R}$ : $(1+u_{n})^{\alpha }-1\sim \alpha u_{n}$.

  En particulier : ${\sqrt {1+u_{n}}}-1\sim {\frac {u_{n}}{2}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer un équivalent de $v_{n}=\ln {\frac {n^{3}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}$.

On a $v_{n}=\ln(1+u_{n})$ avec

$u_{n}={\frac {n^{3}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}-1={\frac {n^{2}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}\sim {\frac {n^{2}}{n^{3}}}={\frac {1}{n}}\to 0$.

D'où, $v_{n}\sim u_{n}\sim {\frac {1}{n}}$.

Fin de l'exemple

Applications

Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur les propriétés suivantes :

Proposition

Soient $(u_{n}),(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n}\sim v_{n}$.

Alors :

• Si $(v_{n})$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors $(u_{n})$ admet la même limite.
• Si $(v_{n})$ est bornée alors $(u_{n})$ aussi.

'Démonstration'

Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$. Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$.

• Si $v_{n}\to \ell$ alors, par produit des limites, $\alpha _{n}v_{n}\to \ell$ donc (puisque $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$) $u_{n}\to \ell$.
• Si $(v_{n})$ est bornée alors $(\alpha _{n}v_{n})$ également (car $(\alpha _{n})$ est convergente donc bornée) donc $(u_{n})$ est bornée.

 

Utilisons maintenant la notion d'équivalence pour le calcul de limite de suite :

Début de l'exemple

Exemple

Soit $x\in \mathbb {R}$. Déterminons la limite de la suite définie pour tout $n\in \mathbb {N}$ par $u_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$.

On a : $\ln \left(\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\right)=n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)\sim n{\frac {x}{n}}=x$. Et donc : $\ln \left(\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\right)\to x$.

Finalement, par continuité de l'exponentielle, on obtient : $u_{n}\to \mathrm {e} ^{x}$.

Fin de l'exemple

Interactions entre les notions

Dans cette partie, nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. À ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultats à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.

Remarque

Si $u_{n}=o(v_{n})$ ou $u_{n}\sim v_{n}$, alors $u_{n}=O(v_{n})$.

Proposition : conversions entre $o$ et $\sim$

Soient $(u_{n}),\ (v_{n})$ deux suites. On a :

$v_{n}+u_{n}\sim v_{n}$ si et seulement si $u_{n}=o(v_{n})$,

ou encore :

$u_{n}\sim v_{n}$ si et seulement si $u_{n}-v_{n}=o(v_{n})$.

Proposition : Opérations entre $o$ et $O$

Soient $(u_{n}),\ (v_{n}),\ (w_{n}),\ (w'_{n})$ quatre suites. On a les résultats :

• si $u_{n}=o(v_{n})$ et $v_{n}=O(w_{n})$, alors $u_{n}=o(w_{n})$ ;
• si $u_{n}=O(v_{n})$ et $v_{n}=o(w_{n})$, alors $u_{n}=o(w_{n})$ ;
• si $u_{n}=o(w_{n})$ et $v_{n}=O(w'_{n})$, alors $u_{n}v_{n}=o(w_{n}w'_{n})$.