« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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ordre
m (ordre)
}}
;Remarque
:SiOn en déduit que si <math>u_n\sim v_n</math> et si <math>(v_n)</math> est non nulle à partir d'un certain rang alors <math>(u_n)</math> est donc, elle aussi, non nulle à partir d'un certain rang.:
*non nulle à partir d'un certain rang ;
*du même signe que <math>(v_n)</math> à partir d'un certain rang.
 
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n}\to1</math>.
* Si <math>(v_n)</math> admet une limite <math>\ell</math> (finie ou infinie) alors <math>(u_n)</math> admet la même limite.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(u_n)</math> aussi.
* Si <math>(v_n)</math> est strictement positive (ou strictement négative) à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
}}
{{Démonstration déroulante
* Si <math>v_n\to\ell</math> alors, par produit des limites, <math>\alpha_n v_n\to\ell</math> donc (puisque <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>) <math>u_n \to\ell</math>.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(\alpha_n v_n)</math> également (comme produit de deux suites bornées) donc <math>(u_n)</math> aussi.
*La dernière propriété se démontre de même.
}}
 
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