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====Solution partielle====
1. #{{...}}
#Supposons (p,q)R(p', q') et (p,q) différent de (p',q'), c'est-à-dire :<br>(p + q < p' + q') (1) ou ((p+q = p'+q') et q < q') (2).
2.#*Dans 2.le Supposonscas (p,q2)R(p', ql')expression etde f montre immédiatement que f(p,q) différent de< f(p',q').
#*Dans le cas (1), on a, en notant <math>s=p+q</math> et <math>t=p'+q'</math> :<br><math>f(p',q')\ge\frac{t(t+1)}2\ge\frac{(s+1)(s+2)}2>\frac{s(s+3)}2=p+q+\frac{s(s+1)}2\ge f(p,q)</math>.
C'est-à-dire que :
#
* (p + q < p' + q') (1) ou ((p+q = p'+q') et q ≤ q') (2) ;
3. #*<math>f(p-1,q+1)-f(p,q)=q+1+\frac{(p+q)(p+q+1)}2-q-\frac{(p+q)(p+q+1)}2=1</math> et <br><math>f(q+1,0)-f(0,q)=0+\frac{(q+1)(q+2)}2-q-\frac{q(q+1)}2=1</math>.▼* (p,q) est différent de (p',q')
#*<math>f(q+1,0)-f(0,q)=0+\frac{(q+1)(q+2)}2-q-\frac{q(q+1)}2=1</math>.
Alors,
5. #La question 4 montre que ''f'' est surjective. Les questions 1 et 2 montrent qu'elle est injective. ▼
f(p,q)=q+(p+q)(p+q+1)/2 ;
f(p',q')=q'+(p'+q')(p'+q'+1)/2 ;
f(p,q) - f(p',q') = q - q' + (p+q)(p+q+1)/2 - (p'+q')(p'+q'+1)/2 = q-q' + 1/2 ( (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) )
Si (2), alors la somme de droite est nulle, et on a f(p,q) - f(p',q') = q - q' ≤ 0 CQFD.
Si (1), alors développons les produits de droite :
* (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) = p² + 2pq + q² + p + q - (p'² + 2p'q' + q'² + p' + q')
* = (p + q - (p' + q')) + (p² + 2pq + q²) - (p'² + 2p'q'+ q'²)
* = (p + q - (p' + q')) + (p+q)² - (p' + q')²
* = (p + q - (p' + q')) + (p+q + p'+q') × (p+q - (p'+q'))
Le membre de gauche est négatif par (1), le membre de droite est produit d'un nombre positif (à gauche) et négatif (par (1)) donc est négatif. Conclusion : il s'agit d'un nombre négatif.
''Mais cela ne suffit pas car f(p,q) - f(p',q') est la somme de ce nombre et de q-q', qui peut très bien être positif.''
▲3. <math>f(p-1,q+1)-f(p,q)=q+1+\frac{(p+q)(p+q+1)}2-q-\frac{(p+q)(p+q+1)}2=1</math> et<br><math>f(q+1,0)-f(0,q)=0+\frac{(q+1)(q+2)}2-q-\frac{q(q+1)}2=1</math>.
4. {{...}}
▲5. La question 4 montre que ''f'' est surjective. Les questions 1 et 2 montrent qu'elle est injective.
== Maths, → 11/11/07 ==
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