Utilisateur:RM77/DMs

Maths, → 5/10/7Modifier

DM3, Exo 1Modifier

  1. Montrer que pour tous réels   tels que   :  .
  2. Que dire si   ?

Pour cela, on pourra (mais il y a d'autres méthodes) s'intéresser, pour   fixé, à la fonction :

 .

Maths, → 19/10/07Modifier

DM 5, Exo 1 : Le cercle orthoptiqueModifier

Dans le plan affine euclidien orienté   rapporté à son repère canonique  , on considère l'ellipse   d'équation :

 

et un point   extérieur à l'ellipse.

  1. Pour tout réel  , donner l'équation de la droite   passant par   et de coefficient directeur  .
  2. Montrer que   est tangente à   ssi   est solution d'une équation du second degré que l’on précisera.
  3. Montrer qu’il existe deux tangentes à   passant par   et perpendiculaires (entre elles) ssi   appartient à un cercle de centre   dont on donnera le rayon.

Solution : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 8.

DM 5, Exo 2 : Points cocycliques sur une coniqueModifier

Dans le plan affine euclidien orienté   rapporté à son repère canonique  , on considère une ellipse   donnée par son équation

  avec  

Et 4 points   deux à deux distincts de  .

  1. On suppose que   sont situés sur un même cercle   d'équation
     
    Pour tout réel  , on note   la conique d'équation  .
    1. Montrer que les directions des axes de symétrie de   ne dépendent pas de  .
    2. Montrer qu’il existe une valeur de   telle que   est décomposée en droites.
    3. En déduire que les droites   et   ou les droites   et   ou les droites   et   ont des directions symétriques par rapport aux axes de  .
  2. On suppose que les droites   et   ont des directions symétriques par rapport aux axes de  . Montrer que   sont cocycliques.

Maths, → 23/11/07Modifier

DM 7, Exo 1Modifier

On considère un ensemble   et deux parties   et   de  .

On note   l’application de   dans   définie par :

  pour tout  .
  1. Mq   est injective ssi  
  2. Mq   est surjective ssi  
  3. Donner une cns pour que   soit bijective et expliciter la réciproque de   dans ce cas.

Solution : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 8.

DM 7, Exo 2Modifier

On considère l’application   de   vers   définie par :

 
  1. Montrer que la relation binaire   sur   définie par :
     
    est une relation d'ordre total.
  2. Montrer que si   alors  .
  3. Pour   et  , calculer   et  .
  4. Montrer que  . On pourra procéder par récurrence sur  .
  5. Montrer que   est bijective.

Maths, → 11/11/07Modifier

DM8, Exercice 1 : Dénombrement des surjectionsModifier

On note   un ensemble fini et     parties de  .

    1. Exprimer   en fonction des cardinaux de   et de leurs intersections.
    2. Faire de même pour  .
    3. Pour tout entier   tq  , on note :   où la somme porte sur tous les k-uplets   d'entiers tq :  . Mq  .
  1. On note   le nombre de surjections d'un ensemble   à p éléments vers un ensemble   à n éléments, avec  .
    1. Déterminer  ,   et  .
    2. Mq  . On pourra pour cela classer les applications   de   vers   suivant le cardinal de  .
    3. Mq  . On pourra pour cela choisir un élément a de   et étudier les images   par  . En déduire la valeur de  .
    4. En utilisant la question 1.3, mq :
       .
    5. Rédiger un programme Maple renvoyant   pour des valeurs données de n et p. Calculer  .
    6. Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des   pour   où l'entier q est donné. Calculer la valeur de   pour  . On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
    7. Donner le nombre de n-uplets   de parties de   réalisant une partition de   en n parties.