« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-6 ==
Soient <math>a_1,\dots,a_n</math> ''n'' entiers deux à deux distincts (<math>n\ge1</math>) et <math>T=\prod_{i=1}^n(X-a_i)</math>.
#<math>P=T+1</math> avec ''n'' impair ;
#<math>P=T-1</math> ;
#<math>P=1+T^2</math>.
{{Solution|contenu=
Soient
#Par le même raisonnement, <math>R+Q=TU</math> avec <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=0</math> est impossible (on aurait <math>T-1=-Q^2</math>, non unitaire). Donc <math>U=1</math> et <math>T-1=Q(T-Q)</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
(
▲Sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Or <math>Q(a_i)R(a_i)=1</math>, donc <math>Q(a_i)=1</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
▲(Cette solution est inspirée de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.
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