« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-6 ==
Soient <math>a_1,\dots,a_n</math> ''n'' entiers deux à deux distincts (<math>n\ge1</math>) et <math>T=\prod_{i=1}^n(X-a_i)</math>. MontrerDans chacun des cas suivants, montrer que dans <math>\Z[X]</math>, le polynôme <math>P(X)=1+\prod_{i=1}^n(X-a_i)^2</math> est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont <math>\pm1,\pm P</math>.
#<math>P=T+1</math> avec ''n'' impair ;
#<math>P=T-1</math> ;
#<math>P=1+T^2</math>.
{{Solution|contenu=
Soient <math>T=\prod_{i=1}^n(X-a_i)</math> et <math>Q,R\in\Z[X]</math> tels que <math>1+T^2=P=QR</math> avec, sans perte de généralité, <math>Q,R</math> unitaireunitaires et de<math>\deg degréQ\le\deg inférieur ou égal à ''n''R</math>. Montrons que <math>Q=1</math>.
Sur #<math>Q(a_i),R(a_i)\Rin\Z</math>, puisqueet <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QRa_i)R(a_i)=1+T^2>0</math>), donc <math>Q>0(a_i)=\pm1</math>. Oret <math>Q(a_i)R(a_i)=1</math>, donc <math>Q(a_i)=1</math>. Par conséquent, <math>R-Q=1+TU</math> avec (puisquepour <math>Q</math>des estraisons de unitairedegrés et de degrécoefficients <math>\le n</math>dominants), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=10</math> est impossible (on aurait <math>T+1=Q^2+1</math> donc <math>n'est</math> pas divisiblepair). parDonc <math>T+U=1</math>) doncet <math>UT+1=0Q(T+Q)</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
#Par le même raisonnement, <math>R+Q=TU</math> avec <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=0</math> est impossible (on aurait <math>T-1=-Q^2</math>, non unitaire). Donc <math>U=1</math> et <math>T-1=Q(T-Q)</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
 
(CetteInspiré solutionde estl'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf inspiréeet de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.)
Sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Or <math>Q(a_i)R(a_i)=1</math>, donc <math>Q(a_i)=1</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
 
(Cette solution est inspirée de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.
 
Voir aussi l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf)
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