Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

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Exercice 1-1Modifier

Trouver tous les polynômes   tels que  .

Exercice 1-2Modifier

Déterminer les polynômes   tels que  .

Exercice 1-3Modifier

Soit  . Montrer que :

  1.   a une unique racine réelle   ;
  2.  .
  3. Soient   les deux autres racines de  . Exprimer   et   en fonction de  .
  4. En déduire que  .
  5. Calculer  .

Exercice 1-4Modifier

Soit   tel que  . Montrer que   est somme de deux carrés de polynômes réels.

Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Première méthode : chercher à factoriser   dans   sous la forme  .

Seconde méthode :

  1. Que dire de la décomposition de   en facteurs irréductibles dans   ?
  2. Montrer l'identité  .
  3. Conclure.

Exercice 1-5Modifier

Soient  .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de   par   et par  .

Exercice 1-6Modifier

  1. Montrer que pour tout  ,   est divisible par  .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier   le polynôme   est-il divisible par   ?

Montrer que pour tout  , le polynôme   est divisible par  .

  1. Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme   par   s'obtient en remplaçant   par   autant de fois que cela est possible dans le polynôme  .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier   le polynôme   divise-t-il le polynôme   ?
  3. Montrer que   est divisible par  .
  4. Pour quels triplets   le polynôme   est-il divisible par   ?

Exercice 1-7Modifier

Démontrer que pour tout  ,

 .

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré   ayant pour racines les nombres complexes   pour  , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme   de degré   ayant pour racines les  . Une relation entre coefficients et racines de   permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente,  .

Exercice 1-8Modifier

Soit un polygone régulier de sommets   inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

 .

Exercice 1-9Modifier

Le polynôme   a-t-il une racine double ?

Trouver un polynôme   tel que   et montrer que   n'admet pas de racine multiple.

Soit  . Déterminer  ,   et   de manière que   soit divisible par  . La racine 1 peut-elle être triple ?

Exercice 1-10Modifier

Soit   un polynôme non constant tel que  .

  1. En donner des exemples.
  2. Si   est une racine de  , montrer que   ou   est une racine n-ième de 1 pour un certain n.

Exercice 1-11Modifier

Calculer  .

Exercice 1-12Modifier

Soit  . Calculer   et en déduire une factorisation de  .

Exercice 1-13Modifier

Trouver   tel que les racines de   vérifient  . Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).

Exercice 1-14Modifier

  1. Décomposer le polynôme   en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines   et   telles que  .
  2. Quelles sont les valeurs de   et   ?
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de   dans  .

Exercice 1-15Modifier

Décomposer le polynôme   en produit d'irréductibles dans  .

Exercice 1-16Modifier

Soit   de degré  , admettant   zéros réels distincts. Montrer que   a la même propriété.