« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Applications : Ajout d'un premier exemple d'applications des suites adjacentes |
→Applications : Début de la deuxième applications. |
||
Ligne 65 :
#::<math>\frac{a}{q!}<\frac{p}{q}<\frac{a}{q!}+\frac{1}{q.q!} \Longleftrightarrow a<p.(q-1)!<a+\frac{1}{q}\leq a+1</math>
#:Or, <math>a,\ p.(q-1)! \in \N*</math>, et l'inégalité ci-dessus est impossible. On a donc montré <math>e\notin \Q</math>.
#Pour la seconde application on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
#:Soit <math>a\in \R</math>. On définit les deux suites suivantes :
#:<math>\forall n \in \N,\ u_n=10^{-n}E(10^na),\ v_n=10^{-n}(E(10^na)+1)</math> où <math>E</math> désigne la partie entière.
#:On appelle <math>(u_n)</math> l'approximation par défaut de <math>a</math> et <math>(v_n)</math> l'approximation par excès.
#:On a : <math>v_n-u_n=10^{-n} \to 0</math>. Il faut donc montrer que <math>(u_n)</math> (resp. <math>(v_n)</math>) est croissante (resp. décroissante).
#:Soit <math>n\in \N</math>. Par définition de la partie entière, on a : <math>E(10^na)\leq 10^na<E(10^na)+1</math> et de même : <math>E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1</math>
#:On en déduit que :<math>10E(10^na)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1</math> et <math>E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a < 10(E(10^na)+1)</math>.
{{Bas de page
| |||