« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Applications : Ajout d'une dernière application : la dichotomie |
Mise en forme + Relecture |
||
Ligne 6 :
| niveau = 14
}}
Dans cette leçon, nous allons étudier des suites dites adjacentes. L'idée de cette notion centrale est de repérer quand deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, converge vers la même limite.
Nous verrons dans un premier temps la définition et le théorème principal concernant les suites adjacentes, avant de nous concentrer sur quelques exemples et applications remarquables.
__TOC__
{{Clr}}
== Suites adjacentes ==
Voyons tout d'abord la définition de deux suites adjacentes.{{Définition
| contenu =
Ligne 18 ⟶ 21 :
* <math>\lim_{n \to +\infty}(v_n -u_n) = 0</math>}}
L'intérêt principal de cette notion se situe dans la propriété suivante, et surtout dans le théorème, dit des suites adjacentes, qui suivra. Le résultat principal à retenir est que si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers une limite commune. Ainsi, pour démontrer une convergence, il est peut être utile de construire deux suites adjacentes et d’utiliser le théorème qui va suivre.{{Propriété
| contenu =
Si les suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont adjacentes alors :
Ligne 30 ⟶ 33 :
**Si <math>p\le q</math> alors <math>u_p\le u_q\le v_q</math> (car <math>(u_n)</math> est croissante).
**Si <math>p\ge q</math> alors <math>u_p\le v_p\le v_q</math> (car <math>(v_n)</math> est décroissante).
}}<br />
{{Théorème|titre=Théorème des suites adjacentes|contenu={{Wikipédia|Théorème des suites adjacentes}}Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites adjacentes.
Ligne 86 :
#:Concrètement, à chaque étape on construit donc deux intervalles <math>[a_n;c_n]</math> et <math>[c_n;b_n]</math>, et on détermine dans quel intervalle se trouve <math>c</math>.
#:Il est évident que la suite <math>(a_n)</math> est croissante et majorée, et que la suite <math>(b_n)</math> est décroissante et minorée. Elles sont donc convergentes, montrons qu'elles sont adjacentes.
#:On a : <math>\forall n \in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}</math>, et on obtient par une récurrence directe : <math> \forall n\in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_0+b_0}{2^n}</math>. Et donc <math>b_n-a_n \to 0</math>, ce qui prouve que les suites sont adjacentes, et converge vers une même limite <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ a_n \leq c \leq b_n</math>, et donc en passant à la limite on obtient <math>l=c</math>, et les deux suites convergent donc vers <math>c</math>.
#:Finalement, en observant que : <math>\forall n\in \N,\ 0\leq c-a_n \leq b_n-a_n \leq \frac{b-a}{2^n}</math>. Ceci montre que <math>a_n</math>
{{Bas de page
| |||