« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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→‎Applications : allègement
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|contenu=
Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n\to1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad 0<\alpha_n<2</math>.
* Si <math>v_n\to\ell</math> alors, par produit des limites, <math>\alpha_n v_n\to\ell</math> donc (puisque <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>) <math>u_n \to\ell</math>.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(\alpha_n v_n)</math> également (commecar produit<math>(\alpha_n)</math> deest deux[[../Convergence#Théorème des suites bornéesconvergentes|convergente donc bornée]]) donc <math>(u_n)</math> aussiest bornée.
}}
Utilisons maintenant la notion d'équivalence pour le calcul de limite de suite :
Finalement, par continuité de l'exponentielle, on obtient : <math>u_n\to\mathrm e^x</math>.
}}
 
== Interactions entre les notions ==
Dans cette partie nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. A ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultat à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.
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