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{{Démonstration déroulante|contenu=
Posons <math>v_n=u_{n+1}-u_n</math> (donc <math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i</math>).
*La suite <math>(u_n)</math> vérifie
*::<math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}=au_n+b</math>
*:si et seulement si
*::<math>u_1=au_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad\left(u_{n+1}=au_n+b\Rightarrow u_{n+2}=au_{n+1}+b\right)</math>,
*:c.-à-d. si
*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad u_{n+2}-au_{n+1}=u_{n+1}-au_n</math>,
*:ce qui se réécrit :
*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=av_n</math>,
*:ou encore (cf. [[Introduction aux suites numériques/Suites géométriques|Suites géométriques]]) :
*::<math>\forall n\in\N\quad v_n=a^n\left[(a-1)u_0+b\right]\quad(*)</math>. ▼*Si :<math>(v_n)</math>\forall vérifien\in\N\quad <math>v_n=a^n\left[(*a-1)u_0+b\right]</math> alors.
D'après les équations qui relient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math>, cette propriété équivaut à
*::<math>\forall n\in\N\quad u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^i\left[(a-1)u_0+b\right]=u_0+(a^n-1)u_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>, ▼▲*::<math>\forall n\in\N\quad v_nu_n= au_0+\sum_{i=0}^ {n -1}a^i\left[(a-1)u_0+b\right] \quad(*)</math> .,
*:c'est-à-dire
*::c'est-à-dire, en remarquant que <math>\forall n\in\N\quad u_n=(a^nu_0+b-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i\quad(**)=a^n-1</math>., à
▲*::<math>\forall n\in\N\quad u_n= u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^ i\left[(a-1)u_0+b\right]=u_0+(a^n-1)u_0nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math> ,.
*:La réciproque, <math>(**)\Rightarrow(*)</math>, est immédiate.
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