« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte comme un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera borné et atteindra ses bornes. Cela les rends fondamentaux en analyse car ils permettent souvent de simplifier des raisonnements.
Nous verrons également comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons :
- que les compacts d'un
- que les applications linéaires entre espace de dimension finie sont automatiquement continue.
Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui
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