« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
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{{Proposition
|titre = Proposition : Union de partie connexe
|contenu =
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:On va revenir à la définition d'une partie connexe. Soient <math>U,\ V</math> des ouverts disjoints de <math>A</math> qui recouvrent <math>A</math>.
:On pose alors : <math>\forall i \in I,\ V_i=A_i\cap V ,\ U_i=A_i\cap U</math>. Pour tous les <math>i\in I</math>, les ouverts <math>V_i,\ U_i</math> forment un recouvrement en deux ouverts disjoints de <math>A_i</math>, partie connexe par hypothèse, on a donc soit <math>V_i=\emptyset</math>, soit <math>U_i=\emptyset</math>.
:Supposons que <math>\underset{i\in I}{\cap}A_i</math> rencontre <math>U</math>, alors on a <math>\forall i\in I,\ U_i\neq \emptyset</math>, d'où <math>V_i=\emptyset</math>, et <math>V=\emptyset</math>.
:Si <math>\underset{i\in I}{\cap}A_i</math> rencontre <math>V</math>, alors le même raisonnement prouve que <math>U=\emptyset</math>.
:Ceci prouve la connexité de <math>A</math>.
}}
Avant de caractériser les connexes de <math>\R</math>, nous énonçons le résultat suivant qui peut paraître technique mais dont nous avons besoin pour la démonstration, et qui est souvent utile en pratique.
{{Proposition
|Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>, et <math>B</math> une partie de <math>E</math> qui vérifie <math>A\subset B\subset \bar{A}</math>. Alors <math>B</math> est connexe.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:On va utliser le fait qu'une partie est connexe si et seulement si les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont la partie elle même et l'ensemble vide.
:Soit <math>C</math> une partie non vide à la fois ouverte et fermée de <math>B</math>, montrons que <math>C=B</math>.
:Par définition des ouverts d'une partie, on peut écrire : <math>C=B\cap O=B\cap F</math> avec <math>O,\ F</math> des parties ouvertes et fermées de <math>E</math> respectivement.
:Posons <math>C'=C\cap A</math>. Alors, <math>C'=O\cap A =F\cap A</math> donc <math>C'</math> est à la fois ouvert et fermé dans <math>A</math> qui est connexe, donc <math>C'=A</math> ou <math>C'=\emptyset</math>
:Or, comme <math>C=O\cap B \subset O\cap \bar{A}</math> on a <math>O\cap \bar{A}\neq \emptyset</math>. Donc, par définition de l'adhérence tout ouvert contenant un point de <math>\bar{A}</math> est non vide, <math>C'</math> est non vide et donc <math>C'=A</math>.
:On en déduit que <math>A\subset C</math>. Et comme <math>C</math> est fermé dans <math>B</math> et <math>C\subset B</math>, on a <math>C=\bar{C}\cap B</math>, et comme <math>A\subset C \subset \bar{A}</math> on a <math>\bar{C}=\bar{A}</math> et finalement <math>C=\bar{A}\cap B =B</math>. Ce qui finit de montrer que <math>B</math> est connexe.
:Notez que ci-dessus <math>\bar{C}</math> désigne l'adhérence de <math>C</math> dans <math>E</math>. Cette remarque est fondamentale (ainsi que la preuve) si l'on veut bien comprendre la connexité ainsi que les raisonnements en topologie.
}}
Ligne 73 ⟶ 93 :
|contenu =
Les connexes de <math>\R</math> sont exactement les intervalles.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:Montrons tout d'abord qu'une partie connexe de <math>\R</math> est forcément un intervalle.
:Soit <math>A\subset \R</math> n'est pas un intervalle, il existe deux réels <math>x,\ y\in A</math> avec <math>x\neq y</math> tels que <math>]x;y[</math> ne soit pas inclus dans <math>A</math>.
:Soit <math>t\in ]x;y[\backslash A</math>. Alors <math>A \subset]-\infty;t[\cup]t;+\infty[</math>, donc il existe un recouvrement de <math>A</math> en deux ouverts disjoints non vides, et <math>A</math> n'est pas connexe.
:Montrons maintenant qu'un intervalle est toujours connexe.
:Soit <math>A=]a;b[\subset \R</math> (<math>a</math> et <math>b</math> peuvent être plus ou moins l'infini). Soit <math>B\subset A</math> une partie ouverte et fermée non vide. Nous allons montrer que <math>B=A</math>.
:Soit <math>x\in B</math>, et soit <math>C=\{y\in A | y\geq x,\ [x,y]\subset B\}</math>.
:On a <math>C\neq \emptyset</math>, donc <math>\beta =\sup C</math> existe. Supposons <math>\beta < b</math>. <math>B</math> étant un fermé de <math>A</math>, on a <math>\beta \in B</math>. Comme <math>B</math> est un ouvert de <math>A</math> qui est ouvert, il existe <math>\epsilon >0</math> tel que <math>]\beta - \epsilon;\beta + \epsilon[\subset B</math>. Mais cela contredit la définition de <math>\beta</math> donc <math>\beta=b</math>. On montre de manière similaire que <math>]a;x[ \subset B</math> donc <math>A=B</math>, et <math>A</math> est connexe.
:Finalement, <math>A</math> est un intervalle fermé ou semi-ouvert, alors son intérieur est un intervalle ouvert, donc connexe. La proposition précédente permet alors de conclure que <math>A</math> est connexe.
}}
;Remarque :
*Pour montrer qu'une partie est un intervalle il est possible de montrer qu'elle est connexe. Même si cela n'est pas forcément le plus courant, cela peut s'avérer utile.
*A l'aide de la notion de connexité par arcs, on peut donner une démonstration plus simple de ce résultat, mais moins fondamentale.
=== Continuité et connexité ===
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|titre= Proposition : Caractérisation de la connexité par les fonctions continues.
|contenu =
<math>A</math> est
}}
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;Remarque :
*On voit encore apparaître le fait que si <math>A</math> est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans <math>\{0;1\}</math> qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continue.
== Connexité par arcs ==
=== Définition ===
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