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« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions

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→‎Equivalence des normes et conséquences : Ajout d'une démonstration
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{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Nous allons tout d'abord démontrer le résultat pour <math>E=\R^n</math>, en montrant que toutes les normes sur <math>\R^n</math> sont équivalentes à la norme infinieinfini <math>\|\cdot \|_\infty</math>.
:Soit <math>N</math> une norme sur <math>\R^n</math>. Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> la base canonique de <math>\R^n</math>. On a alors en utilisant l'inégalité triangulaire pour <math>x=\sum_{i=1}^n x_ie_i\in E</math> :▼
:<math>N(x)\leq \sum_{i=1}^n |x_i|N(e_i)\leq \left(\sum_{i=1}^n N(e_i)\right) \|x\|_\infty</math>▼
:Posons <math> C=\sum_{i=1}^n N(e_i)</math>, avec la seconde inégalité triangulaire on obtient pour <math>x,_ y\in E</math> :
:<math>|N(x)-N(y)|\leq N(x-y) \leq C\|x-y\|_\infty</math>▼
:Ce qui prouve que <math>N</math> est C-lipschitzienne, et donc continue en tant qu'application de <math>(\R^n,\|\cdot \|_\infty)</math> dans <math>\R</math>.
:La sphère <math>\mathcal{S}=\{x\in \R^n | \|x\|_\infty=1\}</math>, est fermée et bornnée, et c'est donc une partie compacte de <math>\R^n</math>. La restriction de <math>N</math> à <math>\mathcal{S}</math> est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. Sa borne inférieure est forcément différente de 0 car <math>N(x)=0</math> implique <math>x=0</math> ce qui est impossible sur la sphère. Notons <math>m</math> sa borne inférieure et <math>M</math> sa borne supérieure.▼
:Finalement, soit <math>x \in \R^n\backslash \{0\}</math>. Alors, <math>\frac{x}{\|x\|_\infty} \in \mathcal{S}</math>, ce qui donne :▼
:<math>m\leq N\left( \frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \leq M</math>▼
:ou encore :▼
:<math>m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq M\|x\|_\infty</math>.▼
:Cette inégalité restant vraie pour <math>x=0</math>, on a montré que <math>N</math> est une norme équivalente à la norme infinie.▼
:
:Considérons maintenant <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Alors, pour <math>n=dim(E)</math>, <math>E</math> est isomorphe à <math>\R^n</math>, et notons <math>\phi</math> cet isomorphisme. ▼
:Soit <math>N_1,\ N_2</math> deux normes sur <math>E</math>, on vérifie que <math>N_1 \circ \phi</math> et <math>N_2 \circ \phi</math> sont des normes sur <math>\R^n</math> qui sont donc équivalentes. ▼
:Il existe donc <math>C_1,\ C_2 >0</math> tels que <math>\forall x \in \R^n,\ C_1N_1 \circ \phi (x)\leq N_2(x) \leq C_2N_1 \circ \phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.▼
:Notons que ce cas prouve que si <math>E</math> est un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\C</math>, alors toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes, car <math>E</math> est alors isomorphe à <math>\R^{2n}</math>.▼
}}▼
 
▲:Soit <math>N</math> une norme sur <math>\R^n</math>. Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> la base canonique de <math>\R^n</math>. On a alors, en utilisant l'inégalité triangulaire pour <math>x=\sum_{i=1}^n x_ie_i\in E</math> :
▲:<math>\forall x=\sum_{i=1}^nx_ie_i\in E\quad N(x)\leq le\sum_{i=1}^n \left|x_i\right|N(e_i)\leq le\left(\sum_{i=1}^n N(e_i)\right) \|x\|_\infty</math>.
Posons <math>M=\sum_{i=1}^nN(e_i)</math>. Ainsi,
:<math>\forall x\in E\quad N(x)\le M\|x\|_\infty</math>.
 
Avec la seconde inégalité triangulaire, on en déduit :
▲:<math>\forall x,y\in E\quad|N(x)-N(y)|\leq N(x-y) \leqle CM\|x-y\|_\infty</math>,
ce qui prouve que sur <math>(\R^n,\|\cdot \|_\infty)</math>, <math>N</math> est <math>M</math>-lipschitzienne donc continue.
 
▲:LaDans <math>(\R^n,\|\cdot \|_\infty)</math>, la sphère <math>\mathcal{ S}=\{x\in \R^n | \mid\|x\|_\infty=1\}</math>, est fermée et bornnée, et c'estbornée donc une partie compacte de <math>\R^n</math>. La restriction de <math>N</math> à <math>\mathcal{ S}</math> est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. SaNotons <math>m</math> sa borne inférieure. Celle-ci, ''a priori'' positive ou nulle, est forcément différentenon de 0nulle car <math>N(x)=0</math> implique <math>x=0</math>, ce qui est impossible sur la sphère. Notons <math>m</math> sa borne inférieure et <math>M</math> sa borne supérieure.
 
▲:Finalement, soit <math>x \in \R^n\backslash setminus\{0\}</math>. Alors, <math>\frac{ x}{\|x\|_\infty} \in \mathcal{S}</math>, ce qui donne :
▲:<math>m\leq N\left( \frac{ x}{\|x\|_\infty}\right) \leq M</math>
▲:ou encore :
▲:<math>m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq M\|x\|_\infty</math>.
▲:Cette inégalité restant vraie pour <math>x=0</math>, on a montréfini de montrer que <math>N</math> est une norme équivalente à la norme infinieinfini.
 
 
▲:Considérons maintenant <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Alors, pour <math>n=\dim(E)</math>, <math>E</math> est isomorphe à <math>\R^n</math>, et notons <math>\phi</math> cet isomorphisme.
 
▲:Soit <math>N_1,\ N_2</math> deux normes sur <math>E</math>, on vérifie que <math>N_1 \circ \phi</math> et <math>N_2 \circ \phi</math> sont des normes sur <math>\R^n</math> qui sont donc équivalentes.
 
▲:Il existe donc <math>C_1,\ C_2 >0</math> tels que <math>\forall x \in \R^n,\quad C_1N_1 \circ \phi (x)\leqle N_2\circ\phi(x) \leqle C_2N_1 \circ \phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.
▲}}
▲:Notons que ce cas prouve que si <math>E</math> est un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\C</math>, alors toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes, car <math>E</math> est alors isomorphe à <math>\R^{2n}</math>.
 
{{Proposition
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{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> un base de <math>E</math>, et <math>(x_1,\cdots ,x_n)</math> les coordonnées de <math>x\in E</math>.
 
:Introduisons <math>N\ :\ E \to \R</math> tel que <math>N(x)=\sum_{i=1}^n |x_i|</math>, et on vérifie que <math>N</math> définie une norme sur <math>E</math>.
:On sait alors queDéfinissons <math>N\ :\ E \to \R</math> etpar : <math>N(x)=\sum_{i=1}^n |\cdot\x_i|_E</math> sont; équivalenteson carvérifie que <math>EN</math> est deune dimensionnorme finie. Ainsi, il existesur <math>C>0</math> tel que <math>\forall x\in E,\ N(x)\leq C\|x\|_E</math>.
 
:On obtient ainsi :▼
On sait alors que <math>N</math> et <math>\|\cdot\|_E</math> sont équivalentes car <math>E</math> est de dimension finie. Ainsi, il existe un réel <math>C</math> tel que <math>\forall x\in E\quad N(x)\le C\|x\|_E</math>.
:<math>\|f(x)\|_F\leq \sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F \leq \max_{1\leq i \leq n}\left( \|f(e_i)\|_F \right) N(x)\leq C\max_{1\leq i \leq n}\left( \|f(e_i)\|_F \right)\|x\|_E</math>▼
 
:Ce qui prouve la continuité de <math>f</math>.▼
▲:On obtient ainsi :
▲:<math>\|f(x)\|_F\leq le\sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F \leq le\max_{1\leq i \leqle n}\left( \|f(e_i)\|_F \right) N(x)\leqle C\max_{1\leqle i \leqle n}\left( \|f(e_i)\|_F \right)\|x\|_E</math>,
▲:Cece qui prouve la continuité de <math>f</math>.
}}
 
Ligne 65 ⟶ 76 :
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Si l'on note <math>n</math> la dimension de <math>F</math>, alors il existe un isomorphisme de <math>F\R^n</math> dans <math>\R^nF</math> que l'on note <math>\phi</math>.
 
:Comme <math>F</math> est de dimension finie, la proposition précédente nous assure que <math>\phi</math> est une application linéaire continue dont la réciproque est également une application linéaire continue, et donc uniformément continue.
La proposition précédente nous assure que l'application linéaire <math>\phi</math> est continue, et donc uniformément continue.
:Ainsi, <math>F=\phi^{-1}(\R^n)</math> est complet car <math>\R^n</math> l'est.▼
 
▲:Ainsi, <math>F=\phi^{-1}(\R^n)</math> est complet car <math>\R^n</math> l'est.
}}
 
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